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专题12 三角函数与解三角形大题归类
目录
题型一：图像求解析式及性质.............................................................................................................................................1
题型二：“零点”求参.........................................................................................................................................................5
题型三：“零点”和型性质.................................................................................................................................................8
题型四：解三角形：正弦定理边化角型求角...................................................................................................................12
题型五：解三角形：角化边型余弦定理求角...................................................................................................................15
题型六：最值：不对称型最值...........................................................................................................................................17
题型七：最值：比值型最值...............................................................................................................................................20
题型八：最值：三角函数角度型最值...............................................................................................................................23
题型九：三大线：中点与中线...........................................................................................................................................25
题型十：三大线：角平分线型...........................................................................................................................................29
题型十一：三大线：三角形高型.......................................................................................................................................32
题型十二：定比分点双三角形...........................................................................................................................................35
题型十三：定比分点最值范围型.......................................................................................................................................38
题型十四：四边形中解三角形...........................................................................................................................................42
题型十五：四边形最值与范围...........................................................................................................................................45
题型十六：解三角形中的压轴证明题（19 题）..............................................................................................................48
题型一：图像求解析式及性质
1．（2024·北京东城·二模）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求
的值；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数
存在，并求函数
在
上的最大值和最小值.
已知
的部分图象求其解析式时
比较容易看图得出，困难的是求待定系数
和
，常用如下两种方法：
(1)由
即可求出
；确定
时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标
，
则令
(或
)，即可求出
.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出
和
，
若对
，
的符号或对
的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
1
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条件①：函数
是奇函数；
条件②：将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到
的图象；
条件③：
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
【答案】(1)2(2)最大值为1，最小值为
【分析】（1）根据题意可得
，即可得
的值；
（2）若选条件①：根据题意结合三角函数的奇偶性可得
，以
为整体，结合正弦函数有界性分
析求解；若选条件②：根据题意结合图象变换可得
，以
为整体，结合正弦函数有界性分析求
解；若选条件③：根据题意代入，结合正弦函数值的符号分析判断.
【详解】（1）设
的最小正周期为
，
由题意可得：
，即
，且
，所以
.
（2）由（1）可知：
，
若选条件①：函数
是奇函数，
且
，则
，可得
，解得
，则
，
又因为
，则
，可知：当
，即
时，
取到最小值
；
当
，即
时，
取到最大值；
若选条件②：将函数
的图象向右平移
个单位长度后，
得到
，且
，则
，
可得
，解得
，则
，
又因为
，则
，可知：当
，即
时，
取到最小值
；
当
，即
时，
取到最大值；
若选条件③：因为
，即
，
且
，则
，
可知
，即
，不合题意，舍去.
2．（2024·甘肃·一模）如图，角
的始边为
轴非负半轴，终边与单位圆交于点
，过点
作
轴
2
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的垂线，垂足为
到直线
的距离为|MN|.若将|MN|关于角
的函数关系记为y = f (x).
(1)求y = f (x)的解析式；
(2)将
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），再将所得图象向左平移
个单位长度，
得到函数
的图象，求
在
的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)
和
【分析】
（1）根据条件得到直线
的方程，利于点到直线的距离公式进行计算即可;
（2）根据函数图象的变换规则得到函数解析式后，整体代入法求解单调区间即可.
【详解】（1）可知
，
又直线
的方程为
，
故根据点到直线距离公式
，即
.
（2）可知
，由
，
得
，所以当
时，函数
的单调增区间为
和
3．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不
变，得到函数
的图象，求函数
在
上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象易得
和周期，结合
可得结果；
（2）根据平移和伸缩变换可得
，进而由整体法即可求解函数的值域.
3
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【详解】（1）观察图象可得
，函数
的周期
，解得
，
即
，由
，得
，即
，
，
而
，则
，所以函数
的解析式是
.
（2）将
的图象向左平移
个单位长度，
可得到函数
的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
，
纵坐标不变，得到函数
的图象，则
，
当
时，
，则
，所以
，
因此
在
上的值域为
.
4．（2023·山西·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求
的解析式；
(2)将
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，求
在
上的值域.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）由图可知
，根据最小正周期求得
，由图象经过点
求得
，即可得出
；
（2）利用图象平移规律得
，根据三角函数的性质求得值域.
【详解】（1）由图可知
，
的最小正周期
，则
，即
.
因为
的图象经过点
，所以
，
解得
，因为
，所以
，故
.
4
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（2）由（1）结合题意可得
.
因为
，所以
.当
，即
时，
取得最大值
；
当
，即
时，
取得最小值
.故
在
上的值域为
.
题型二：“零点”求参
1．（23-24 广东深圳·阶段练习）函数
的部分图象如图所示．
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象先向右平移
个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），得到
函数
的图象，求
在
上的最大值和最小值；
(3)若关于
的方程
在
上有两个不等实根，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
，
；(3)
．
【分析】（1）利用函数图象的顶点求出
，利用周期求出
，由特殊点求出
，即可求出解析
式；
（2）利用三角函数图象变换求得
，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；
（3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.
零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，或者cos(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝++kπ 可求得对称中心的
横坐标；
正弦“第一零点”：
；
正弦“第二零点”：
余弦“第一零点”：
；
余弦“第二零点”：
5
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【详解】（1）由函数
的部分图象可知
，
，
，
，又
，
，解得
，由
可得
，
；
（2）将
向右平移
个单位，得到
，
再将所有点的横坐标缩短为原来的
，得到
，令
，由
，可得
，因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，可得
，
；
（3）因为关于
的方程
在
上有两个不等实根，
即
与
的图象在
有两个交点.
由图象可知符合题意的
的取值范围为
.
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数
.
(1)若
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)将函数
的图象的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，再将其向右平移
个单位，得到函数
的图象.若
，函数
有且仅有4 个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变形，转化为正弦型函数，然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最
值，即可得到答案；
（2）根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结
合，就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答.
【详解】（1）因为
，
当
时，可得
，当
，即
时，
取得最小值
，
因为
时，
恒成立，所以
，即实数
的取值范围为
.
（2）由
图象的横坐标缩小为原来的
，可得：
，
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再将其向右平移
，可得：
，即函数
，
因为
，所以
，在给定区间的正弦函数的零点是
，
再由函数
有且仅有4 个零点，则满足
，解得
，所以实数的取值范围
.
3．（23-24·安徽蚌埠·期末）已知函数
.
(1)求
的单调递减区间；
(2)将y = f (x)的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移
个单位得到
y = g(x)的图象，当
时，方程
有解，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合降幂公式和辅助角公式化简
，结合整体法可求
的单调递减区间；
（2）结合平移法则易得
，由
求出
范围，进而得到
的范围.
【详解】（1）因为
，
由
，解得
，
所以
的递减区间为
；
（2）由（1）知
，那么将
图象上各点纵坐标保持不变，
横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移
个单位，得到
．
当
时，
，
由方程
有解，可得实数
的取值范围为
．
4．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式；
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(2)将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，若方程
在
上有解，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的图象求得A 和
，再将
代入求解；
（2）由（1）得到
，再令
，转化为二次方程求解.
【详解】（1）解：由函数的图象知：
，则
，
所以
，
，因为
，
所以
，则
，又因为
，则
，所以
；
（2）由题意得：
，令
，则
化为：
，即
在
上有解，由对勾函数的性质得：
，
所以
.
题型三：“零点”和型性质
1．（21-22 广东佛山·阶段练习）已知数
的相邻两对称轴
间的距离为
.
(1)求
的解析式；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的
（纵坐标不变），得到
函数
的图象，当
时，求函数
的值域；
(3)对于第（2）问中的函数
，记方程
在
上的根从小到大依次为
，若
，试求
与
的值.
零点求和型，多利用三角函数对称轴对称性求解
对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x 中的“x”，采用整体代入求解．
对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；
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【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先整理化简得
，利用周期求得
，即可得到
；
（2）利用图像变换得到
，用换元法求出函数
的值域；
（3）由方程
，得到
，借助于正弦函数
的图象，求出
与
的值.
【详解】（1）由题意，函数
因为函数
图象的相邻两对称轴间的距离为
，所以
，可得
.故
（2）将函数
的图象向右平移
个单位长度，可得
的图象.
再把横坐标缩小为原来的
，得到函数
的图象.
当
时，
，
当
时，函数
取得最小值，最小值为
，
当
时，函数
取得最大值，最大值为
，故函数
的值域
.
（3）由方程
，即
，即
，因为
，可得
，
设
，其中
，即
，结合正弦函数
的图象，
可得方程
在区间
有5
个解，即
， 其中
，
即
解得
所以
. 综上，
【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于
或
的性
质解题；
（2）求y=Asin(ωx+φ)+B 的值域通常用换元法；
2．（22-23 江西萍乡·期中）函数
的部分图象如图所示．
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(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象先向右平移
个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），得到
函数
的图象，若关于
的方程
在
上有两个不等实根
，求实数
的取值范围，
并求
的值．
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可；
（2）先根据三角函数的图像变换得
，结合正弦函数的单调性、对称性可判定
的取
值范围与
的值.
【详解】（1）由图可知，
，∵
，∴
，∴
，又
，
∴
，
，∴
，由
可得
，∴
；
（2）将
向右平移
个单位得到
，
再将所有点的横坐标缩短为原来的
，得到
，令
，则
，
易知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
，∴
；由对称性可知
，
∴
，∴
，∴
．
3．（2023·陕西安康·一模）已知函数
的部分图象如图所示.
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(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
图象上所有的点向右平移
个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的
2 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象.当
时，方程
恰有三个不相等的实数
根，
，求实数a 的取值范围以及
的值.
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出
，得到最小正周期，求出
，
再代入特殊点的坐标，求出
，得到函数解析式；
（2）先根据平移变换和伸缩变换得到
，令
，换元后利用整体法
求出函数的单调性和端点值，得到
，再根据对称性得到
，相加
后得到
，求出答案.
【详解】（1）由图示得：
，解得：
，又
，所以
，所以
，所以
.
又因为
过点
，所以
，即
，
所以
，解得
，又
，所以
，所以
.
（2）
图象上所有的点向右平移
个单位长度，得到
，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得到
，
当
时，
，
令
，则
，令
，在
上单调递增，在
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上单调递减，在
上单调递增，且
，
,所以
时，.当
时，方程
恰有三
个不相等的实数根.因为
有三个不同的实数根
，且
关于
对称，
关
于
对称，则
，
两式相加得：
，
即
，所以
.
4．（23-24 高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数
为奇函数，且
图象的相邻两条对称轴间的距离为
.
(1)求
的解析式与单调递减区间；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位长度，再把横坐标缩小为原来的
（纵坐标不变），得到函数
的图象，当
时，求方程
的所有根的和.
【答案】(1)
，
(2)
.
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法,求得
的函数表达式，解方程求得
的值，利用换元思想，结合三角函数
的图象和性质分析求出即可.
【详解】（1）由题意可得：
因为
图象的
相邻两条对称轴间的距离为
，所以
的最小正周期为
，即可得
，
又
为奇函数，则
，又
，所以
，故
.
令
，得
，
所以函数
的递减区间为
.
（2）将函数
的图象向右平移
个单位长度，可得
的图象，
再把横坐标缩小为原来的
，得到函数
的图象，
又
，则
或
，即
或
.
令
，当
时，
，
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画出
的图象如图所示：
的两个根
对应的点
关于直线
对称，
即
，
有
，
在
上有两个不同的根
，所以
；又
的根为
，
所以方程
在
内所有根的和为
.
题型四：解三角形：正弦定理边化角型求角
1．（2024·陕西安康·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
，且
(1)求
；
(2)设
为边
的中点，
，求线段
长度的最大值.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）由题设条件重新组合后将
证明替换成
，再利用正、余弦定理即可求得；
（2）利用三角形中线的向量表达式和向量数量积的定义式，可推得
，根据余弦定理和基
本不等式求得
，代入即可计算得到.
【详解】（1）由
，得
(*).因为
，所以
，
由正弦定理，得
，代入（*）得，
.
对于sin（α+β ）与cos（α+β ） 简称为“正余余正，余余正正”
恒等变形和化简求角中，有如下经验：
1、SinC=Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB:正用。逆用；见A 与B 的正余或者余正，不够，找
sinC 拆
2、边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；
3、cosC=-cos(A+B)=-[cosAcosB-sinAsinC]
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由正弦定理，得
，由余弦定理的推论，得
.
（2）由余弦定理，得
，即
，
所以
，当且仅当
时等号成立，故得
.又
，两边平
方可得，
，所以
，即线段
长度的最大值为
.
2．（2024·四川南充·模拟预测）在
中，
.
(1)求
；
(2)若
，求
周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出
的最大值，即可得解.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，即
，
由余弦定理
，
，
.
（2）因为
，即
，
，当且仅当
时
取等号，
，即
，
又
，所以
，当且仅当
时取等号，
周长
，即
周长的最大值为
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
为锐角三角形，点F 为
的垂心，
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得
的值，再由角
的范围，可得角
的大小；
（2）设
，分别在两个三角形中，由正弦定理可得
，
的表达式，由辅助角公式可得
的取值范围．
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，由正弦定理可得
，由余弦定理可得
，
，可得
；
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（2）延长
交
于
，延长
交
于
，延长
交
于
，
，
根据题意可得
，
，因为
，所以
，
设
，
，在
中，由正弦定理可得
，
即
，可得
，同理在
中，可得
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，所以
．
4．（23-24·天津·阶段练习）在
中，内角
所对的边分别为
，已知
.
(1)求
的值；(2)若
.
（i）求
的面积；（ii）求
的值.
【答案】(1)2 (2)（i）
；（ii）
【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案；
（2）（i）由正弦定理和余弦定理可得
，再由同角三角函数的基本关系和三角形的面积公式即可
得出答案；（ii）由二倍角的正弦和余弦公式求出
，再利用两角和的正弦公式计算即得.
【详解】（1）由正弦定理
，
即
，
，所以
.
（2）（i）由（1）知
，即
，又
，由余弦定理，得
，
解得
，
，则
，
.
（ii）
，
.
题型五：解三角形：角化边型余弦定理求角
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1．（2025·广东·一模）在△
中，角
的对边分别为
，已知
(1)求
;
(2)若
分别为边
上的中点，
为
的重心，求
的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据二倍角公式将已知条件变形转化，再根据正弦定理边角互化，带入到余弦定理即可求得；
(2)根据已知设
，表达出
，再根据余弦定理可求得结果.
【详解】（1）因为
，
所以
，
即
由正弦定理得
，由余弦定理得
，因为
（2）设
，
依题意可得
所以
所以
.
2．（23-24·陕西咸阳·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，
，求
的面积；
(3)若
，
，D 为BC 的中点，求AD 的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解；
（2）根据余弦定理得
的值，进而根据三角形面积公式即可求解；
（3）根据三角形的中线的向量表达形式，结合向量模长公式即可求解
【详解】（1）
，即
．
即
,也即
由余弦定理可得
，由
，故
余弦定理：
1.若式子含有
的2 次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”
2.面积和
2 次齐次式，可构造余弦定理
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（2）由
，
，由余弦定理可得：
解得：
，所以
（3）由余弦定理可得：
，解得
又D 为BC 的中点，则
两边平方可得：
所以AD 的长
3．（2024·江西·模拟预测）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且b 是a，c 的等比中项．
(1)求B 的最大值：
(2)若C 为钝角，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项及余弦定理得
，根据基本不等式及余弦函数性质可得结果；
（2）依题意设
，
，根据三角形三边关系及条件求出
，利用正弦定
理及两角和正弦公式。诱导公式化简得
，从而可得结果.
【详解】（1）因为b 是a，c 的等比中项，所以
．由余弦定理可知
，
则
，当且仅当
时，等号成立．
又
，根据余弦函数的性质且
，故B 的最大值为
．
（2）由已知可设
，
，则
，所以
，解得
．
，
所以
的取值范围为
．
4．（2024·江苏盐城·模拟预测）在
中，已知角
，
，
所对的边分别为
，
，，
．
(1)求角
的大小；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围．
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，结合余弦定理将角转化为边，可将式子变形为
，
再利用余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角恒等变换可得
，根据锐角三角形可得
的取值范围，结合三角函数的图象和性质即可求解.
【详解】（1）在
中，
，
因为
，所以
，
化简得
，由余弦定理得
，又
，所以
；
（2）由正弦定理知
，
由
为锐角三角形可知
，而
，所以
得
，
所以
，所以
，即
，
则
的取值范围为
.
题型六：最值：不对称型最值
1．（13-14 高三下·山东东营·阶段练习）在
中，角
所对的边分别为
，且满足
(1)求角B 的值；
非对称型结构
结构特征：
“非齐次或者不对称结构”，用正弦定理消角化一，角度范围是否受限，是关键计算点
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(2)若
且
，求
的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式化简，可求出角B 的值；
（2）根据条件
，可求出角B 的值以及角A 的范围，利用正弦定理可得到
，将
代入，用辅助角公式化简，结合A 的范围即可求出结果.
【详解】（1）在
中，
，
，
，
，
，
，即
，又
，
所以
，解得
或
.
（2）∵
且
，∴
，
由正弦定理得
，所以
，
.
故
，
∵
，∴
，
，又易知函数
在
上单调递增，
于是当
，即
时
的最小值为
，当
，即
时
的最大
值为
.所以
，即
的取值范围
.
2．（2024·广东湛江·一模）已知在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若
外接圆的直径为
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案；
（2）由正弦定理可得
，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得
，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）由
可得：
，所以
，
所以
，
，
19
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，由正弦定理可得
，
因为
，所以
，所以
，因为
，所以
.
（2）由正弦定理可得
，所以
，
故
，又
，所以
，
所以
，又
，所以
，所以
，所以
的取值范围为
.
3．（22-23 河南省直辖县级单位）已知
为锐角三角形，角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理化简原式得到
，结合
即可得到答案；
（2）根据正弦定理和辅助角公式化简
，结合
与三角函数值域相关知识求解答案即可.
【详解】（1）在
中，由余弦定理得，
，
所以
，所以
，
又因为
为锐角三角形，所以
，所以
.
（2）在
中，由正弦定理得，
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，解得
，
所以
，则
，所以
的取值范围为
.
4．（2021·江苏南通·一模）在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且____．
(1)求角C；
(2)若
，求
的取值范围．
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换，结合正余弦定理边角互化，即可逐一求解，
（2）根据正弦定理可得
，进而根据三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）若选①：
，则
，
∴
∴
∵
，
，∴
，∵
，∴
.
若选②：
，由正弦定理得
，
∴
，∴
，∵
，∴
．
若选③：
，则
，由正弦定理得
，∴∴
，∴
，∵
，∴
．
（2）由正弦定理得
，故
，
则
，
，
由于
，
，
，
∴
.
题型七：最值：比值型最值
1．（2023·全国·模拟预测）已知
的内角
所对的边分别为
．
(1)求角
的大小；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：利用余弦定理化角为边，进而可得出答案；
法二：利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简即可得解；
（2）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理结合基本不等式即可得出答案.
最值范围：分式比值型
化边为角型
1. 通过正余弦定理，把边转化为角。
2. 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式
3. 对单变量（单角）求最值。
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【详解】（1）解法一：
，
由余弦定理，得
，
，又
，
；
解法二：
，
由正弦定理得
，又
，
，
又
，
；
（2）由余弦定理，得
，由正弦定理，得
，又
，当且仅当
时等号成立，
的最小值为
．
2．（2023·全国·模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，设
的面积为S，
．
(1)当
时，若
，求角A；
(2)当
时，求
的最大值.
【答案】(1)
；(2)
．
【分析】（1）由正弦定理化边为角，再利用已知角将其转化成角
的三角方程，求解即得；
（2）由余弦定理和基本不等式求得
的范围，利用面积公式将所求式转化成角
的三角函数式，从而
求出其范围，得最大值.
【详解】（1）当
时，
，即
，由正弦定理得，
，
因
，故
，化简得
，从而
，由于
，所以
．
（2）当
时，
，由余弦定理得，
，所以
（*），即
，当且仅当
时取等号，
即
，又由（*）可得：
．
因为
，所以
，
由于
,
，故
,此时正切函数为增函数，
且
时，
，所以
，
所以当
时，
的最大值为
．
3．（2023·浙江·模拟预测）已知
中，内角
所对的边分别为
，且满足
.
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(1)若
，求
；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：根据题意，由正弦定理得到
，再由余弦定理得到
，联立
方程组得到
，再由余弦定理求得
，即可求解；
解法二：根据题意，由正弦定理化简得到
，进而得到
，即可求解；
（2）由（1）得到
，求得
，结合三角形的边的关系，得到
，设
，得出函数
，结合函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解法一：因为
，由正弦定理得
，可得
，即
，
又因为
，由余弦定理得
，即
，
联立方程组
，可得
，即
，所以
，
由余弦定理定理得
，
因为
，所以
.
解法二：因为
，由正弦定理得
，
整理得
，
又因为
，可得
，所以
，
即
，可得
，即
，
因为
，所以
，所以
，所以
.
（2）由（1）知
，可得
，且
，所以
，
由三角形三边关系，可得
，可得
，令
，可得
，其中
，
所以函数
，所以
，所以
的取值范围是
.
4．（22-23 安徽六安 ）从条件①
；②
中任选一个，补
充在下面问题中，并加以解答.在
中：内角
的对边分别为
，______.
(1)求角
的大小；
23
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(2)设
为边
的中点，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可整理得到
，由角的范围可
求得
；
若选②，利用二倍角和辅助角公式可化简求得
，由角的范围可求得
；
（2）由
，平方后可用
表示出
，结合基本不等式可求得最大值.
【详解】（1）若选条件①：由正弦定理得：
，
，
，
，
，即
，
，
又
，
，
，解得：
；
若选条件②：
，
，
，
，
，
，解得：
.
（2）
，
，
即
，
（当且仅当
时取等号），
的最大值为
.
题型八：最值：三角函数角度型最值
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1．（2023·安徽·二模）在
中，
．
(1)若
，判断
的形状；
(2)求
的最大值．
【答案】(1)
是直角三角形(2)
【分析】（1）利用正弦定理
把
化为
，再
利用余弦定理可得
，再由
，即可求出
，
，
代入正弦的和角公式可知
，从而可判断
为直角三角形；
（2）由（1）中的
，可得
，再利用正切的差角公式可得
，结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）设内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
由
及正弦定理
得：
，
，
，
．
，
，
是直角三角形．
（2）由（1）知，
，
，且
，
，
当且仅当
，即
时取等号，
的最大值为
．
2．（2023·陕西榆林·三模）已知
分别为
的内角
所对的边，
，且
．
(1)求
；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积的定义及正弦定理的边角化即可求解；
锐钝角限制型
注意锐角三角形，或者钝角三角形对角的范围的限制，如果有这样限制，要对每个角都要用不等式范
围求解
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（2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，利用诱导公式、两角和的正弦公式及降幂公式，结合辅助
角公式及三角函数的性质即可解.
【详解】（1）
，
由
及正弦定理，得
，
得
，代入
得
，又因为
，所以
．
（2）由（1）知
，所以
. 所以
，
因为
,所以
，所以
，
所以
，故
的取值范围是
.
3．（2023·浙江嘉兴·二模）在
中，角
所对的边分别是
.已知
.
(1)若
，求
；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换化简可得
，则
，进而求解；
（2）由（1），根据平方差公式、正、余弦定理和二倍角的正弦、余弦公式化简可得
，结合
即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得
，又
，
得
，
，
，所以
或
，
得
或
(舍去)，若
，则
；
（2）
，
由正弦定理，得
，
由（1）知
，得
，又
，
所以
，即
，
而
，所以
，得
，
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故
，即
.
4．（2023·云南红河·二模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)证明：
；
(2)求
的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理结合基本不等式求出
的范围，即可得
的范
围，即可得证；
（2）根据二倍角的余弦公式可得
，设
，
，构造函数
，利用导数求出函数的最值即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
，
即
，当且仅当
时，等号成立，又因为
，所以
；
（2）
，设
，则
，
因为
，所以
，设
，由
，得
，
当
，
，
单调递增；当
，
，
单调递减，
当
时，
取得最大值为
，所以
的最大值为
.
题型九：三大线：中点与中线
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1．（2023·全国·模拟预测）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，且满足______．
请从以下三个条件中选择一个作为已知条件补充在题目上，并完成下面问题：
①外接圆半径
；
②
；
③
．
(1)求锐角
；
(2)求
的BC 边上的中线的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】(1) 若选①，由正弦定理求解；
若选②，由正弦定理得
，则有
，即可得答案；
若选③，利用二倍角公式化简得
，则有
，即可得答案；
(2)由余弦定理及基本不等式可得
，设BC 的中点为M，则
，等式两边平方可得：
，即可得答案.
【详解】（1）解：若选①，由
，解得
，又A 为锐角，故
；
若选②，由正弦定理得
，即
，
又
，所以
，则
，又A 为锐角，故
；
若选③，由
，则有
，即
， 又A 为锐角，
所以
，所以
，故
；综上所述
；
中线的处理方法
1.向量法：
2. 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
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（2）解：由余弦定理可得
，所以
，
因为
，当且仅当
时等号成立，所以
．
设BC 的中点为M，则
，
等式两边平方可得：
，当且仅当
时等号成立，所以
，
即BC 边上的中线的最大值为
．
2．（2023·湖北·模拟预测）在
中，
，点D 在边
上，
.
(1)若
，求
的值，
(2)若
，且点D 是边
的中点，求
的值.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）由余弦定理列出方程，求出
的值；
（2）作出辅助线，得到
，由余弦定理求出
，从而求得答案.
【详解】（1）在
中，由余弦定理得：
，
所以
，解得
或
，
经检验均符合要求；
（2）在
中，过D 作
的平行线交
于E，因为点D 是边
的中点，所以点E 为AC 的中点，
在
中，
，
又
，所以
.由余弦定理得：
，
所以
，所以
或
（舍去），
故
.
3．（22-23 高三上·湖北十堰·阶段练习）在
中，内角
的对边分别是
，且
.
(1)求
；
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(2)若
是边
的中点，且
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理角化边，结合余弦定理求解即可；
（2）由题知
，进而得
，再结合基本不等式得
，再
根据面积公式求解即可.
【详解】（1）解：因为
，所以
，
所以
，
.因为
，所以
.
（2）解：因为
是边
的中点，所以
，
所以
，
因为
，且
，所以
.
因为
，所以
，当且仅当
时等号成立，所以
.
则
的面积
.所以，
面积的最大值
.
4．（2022·全国·模拟预测）在①
，②
，③
且
这三个
条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，______.
(1)求证：△ABC 是等腰三角形；
(2)若D 为边BC 的中点，且
，求△ABC 周长的最大值.
【答案】(1)条件选择见解析，证明见解析(2)
【分析】（1）条件①利用正弦定理进行边角互换得到
，然后利用三角形内角和
和诱导公式进行化简得到
，即可得到△ABC 是等腰三角形；
条件②利用商的关系化简得到
，然后利用正弦定理得到
，即可得到△ABC 是等腰三角形；
条件③利用正弦定理和二倍角公式得到
，即可得到
，△ABC 是等腰三角形；
（2）利用余弦定理和
得到
，然后利用基本不等式求周长的最大值即可.
【详解】（1）方案一：选条件①.
由
及正弦定理，得
，
所以
，即
，
又
，
，所以
或
（不合题意，舍去），故△ABC 是等腰三角形.
方案二：选条件②.
由
，得
，
所以
，由正弦定理，得
，故
，所以△ABC 为等腰三角形.
方案三：选条件③.
由
及正弦定理，得
所以
，得
，
又
，
，所以
或
，又
，故
， 所以△ABC 为等腰三角形.
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（2）由（1）知，△ABC 为等腰三角形，且
.
在△ABD 中，由余弦定理，得
，化简得
.
设△ABC 的周长为l，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号， 所以△ABC 周长的最大值
.
题型十：三大线：角平分线型
1．（2022·四川绵阳·二模）在
中，角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若角
的平分线交
于
且
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简得到
，根据正弦定理计算得到
，得到角度.
（2）设
，
，确定
，计算
，再利用均值
不等式计算得到答案.
【详解】（1）
，即
，即
.
由正弦定理得
，
，
，故
.
，
，故
，又
，故
，故
；
三角形角平分线的处理方法：
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
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（2）
，设
，
，
根据向量的平行四边形法则：
，
即
，
，又
，
故
，
当且仅当
时等号成立，故
的最小值为
.
2．（22-23 高三上·山西吕梁·期末）在锐角
中，内角
的对边分别为
，且满足：
(1)求角
的大小；
(2)若
，角
与角
的内角平分线相交于点
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦边化角，并结合恒等变换得
，再结合题意得
，进
而根据内角和定理得答案；
（2）由题，结合（1）得
，设
，则
，进而根据锐角三角形得
，在
中，由正弦定理得
，进而
，再根据三角函数性质求范围
即可.
【详解】（1）解：因为
所以
，即
所以
，
所以
，即
，
因为在锐角
中，
，所以
，即
，
因为
，所以
，解得
所以
（2）解：因为
，角
与角
的内角平分线相交于点
，所以
，
所以
所以
，
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设
，则
，因为
为锐角三角形，
所
，解得
所以，在
中，由正弦定理
得
，
所以，
面积
因为
，所以
，所以
，所以
，
所以，
面积的取值范围是
.
3．（2023·云南曲靖·一模）在△ABC 中，角A，B，C 的对边长依次是a，b，c，
，
．
(1)求角B 的大小；
(2)当△ABC 面积最大时，求∠BAC 的平分线AD 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边，再应用余弦定理可解得角B.（2）由余弦定理与重要不等式可得△ABC
面积最大时a、c 的值，在△ABD 中应用正弦定理可解得AD 的值.
【详解】（1）∵
，∴由正弦定理可得
，
∴由余弦定理得
，又∵
，∴
．
（2）在△ABC 中，由余弦定理得
，即
．∵
，
，∴
，当且仅当
时取等号，
∴
，当且仅当a＝c＝2 时，
，
又∵△ABC 面积为
，∴当且仅当a＝c＝2 时△ABC 面积最大．
当a＝c＝2 时，
．又∵
为
的角平分线，∴
∴在△ABD 中，
，∴在△ABD 中，由正弦定理得
．
33
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4．（2023·山东·模拟预测）已知
的内角
的对边分别为
，
，，
，且
．
(1)求
的大小；
(2)若
的平分线交
于点
，且
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换整理得
，再根据角
的范围分析运算；
（2）根据三角形的面积关系整理得
，结合基本不等式求范围.
【详解】（1）∵
，由正弦定理可得
，
则
，可得
，
整理得
，注意到
，且
，则
，且
，可得
或
，
解得
或
（舍去），故
.
（2）若
的平分线交
于点
，则
，
∵
，则
，
即
，整理得
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，故
的取值范围为
.
题型十一：三大线：三角形高型
34
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1．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形
中，
，
．
(1)求
．
(2)求
边上的高的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的内角和定理结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）设
边上的高为
，则
，再利用正弦定理及三角函数求出
的范围，即可得解，注意三角
形为锐角三角形.
【详解】（1）设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
因为
，
，
所以
，由正弦定理，得
，整理得
，
由余弦定理得
，又
，所以
；
（2）设
边上的高为
，则
，
由正弦定理，得
，由
为锐角三角形，
得
，得
，则
，所以
，从
而
，故
边上的高的取值范围是
．
2．（2023·山西大同·模拟预测）记锐角△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)证明：
；
(2)若AD 是BC 边上的高，且
，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
35
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【分析】（1）利用三角恒等变换，将已知条件化为
，根据正余弦边角关系证明
结论；
（2）设
，
，则
，根据（1）结论有
，利用余弦定理及
锐角三角形的性质求
范围，进而求
范围.
【详解】（1）由题意得
，即
，
由正弦定理得
.
（2）设
，
，则
，由（1）知：
，∴
，
由
，又
，
对于函数
且
，有
，则在
上
，
递减；在
上
，
递
增，
所以
，故
，
则
.
3．（2020·辽宁·一模）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，
.
(1)求
及
；
(2)若
，求
边上的高.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）正弦边角关系及和角正弦公式得
，结合三角形内角的性质求
，再应
用二倍角公式有
，进而确定
大小；
（2）应用余弦定理及
求得
、
，正弦定理求
，即可求
边上的高.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
，
36
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所以
，又
，所以
，又
，则
.
因为
，即
，又
，所以
，因为
，所以
.
（2）由（1）及余弦定理
，得
.
将
，代入
，得
，解得
或
（舍去），则
.
因为
，所以
，设
边上的高为
，则
.
4．（2023·安徽·模拟预测）在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，且满足
．
(1)求
；
(2)若
，
是
边上的高，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将
两边同乘
，再由正弦定理将边化角，最后由两角和的正弦公式
及诱导公式计算可得；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出
的最大值，即可求出面积的最大值，再根据
求出
的最大值.
【详解】（1）解：因为
，所以
，
由正弦定理可得
，即
，
因为
，所以
，所以
，则
.
（2）解：因为
，
，由余弦定理
，即
，
所以
当且仅当
时取等号，
所以
，则
，当且仅当
时取等号，
所以
，又
，所以
，
故
的最大值为
.
题型十二：定比分点双三角形
37
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1．（22-23 高三下·河北衡水·阶段练习）记
的内角
的对边分别为
，已知
，
是边
上的一点，且
.
(1)证明：
；
(2)若
，求
.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）分别在
和
中利用正弦定理表示出
，代入已知等式化简整
理即可得到结果；
（2）根据
，在
和
利用余弦定理可整理得到
；在
中，
利用余弦定理可得
，进而得到
，代入
中即可求得结果.
【详解】（1）证明：在
中，由正弦定理得：
，
在
中，由正弦定理得：
，
在
中，
，
所以
，
，所以
.
（2）由
，得
，
在
中，由余弦定理得：
，
在
中，由余弦定理得：
，
三大线型引申：定比分点型
如图，若BD=tBC 型，称D 为定比分点，可以从以下思维入手：
1. 双三角形余弦定理：
（1）
ABD 中，AB2=BD2+AD2-2BD ADcos
（2）
ACD 中，AC2=CD2+AD2-2CD ADcos(Π-
）
2.向量法：
38
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，
，即
，
整理可得：
；
在
中，由余弦定理得：
，则
，
，
，即
，
.
2．（2023·全国·模拟预测）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
，
为
上一点，
．
(1)求
的值．
(2)若
，求
与
的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再利用余弦定理可求得
，在
和
中，分别利用
正弦定理求出
，再根据
，化简整理即可得解；
（2）在
和
中，分别利用余弦定理求出
，再根据
可
得
，化简即可得解.
【详解】（1）因为
，所以
，
则
．由正弦定理，得
，
则由余弦定理得
又因为
，所以
，
在
中，由正弦定理，得
，则
，
同理，在
中，由正弦定理，得
，由
，得
，又因为
，所以
，
则
，即
，
所以
，即
；
（2）由（1）可知，
，因为
，所以
，
，
在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
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由
，得
，
又因为
，所以
，所以
，所以
，
又
，所以
．
3．（2024·重庆·三模）已知
分别为
的内角A、B、C 的对边，为
的面积，且满足
.
(1)求
；
(2)若
，且
，求
的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用面积公式和余弦定理化简已知条件得
，然后利用辅助角公式及正弦函
数性质求解角
即可；
（2）由向量的数量积运算律得
，将
代入求得
，利用余弦定理求得
，再利用向量运算得
，从而求得
，最后利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）由面积公式和余弦定理可得：
，
，
，
，
.
（2）由
及
得，
，化简得
，将
代入上式整理得：
，所以
，
所以
，解得
.
，
三点共线，且
，所以
.
4．（2023·广东汕头·一模）如图，在
中，D 是
边上的一点，
，
．
40
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(1)证明：
；
(2)若D 为靠近B 的三等分点，
，
，
，
为钝角，求
．
【答案】(1)证明见解析.(2)
.
【分析】（1）在
和
中分别用正弦定理表示出
，相比即可证明结论；
（2）利用（1）的结论可求得
，继而由余弦定理求得
的长，即可得
长，从而求得
的
长，即可求得答案.
【详解】（1）证明：在
中，
，
在
中，
,
由于
,故
，
所以
.
（2）因为
，故
，由
为钝角，故
为锐角，
又
，且D 为靠近B 的三等分点，
，
，
故
，
故
,
故
，则
,
故
.
题型十三：定比分点最值范围型
1．（2023·全国·模拟预测）在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在锐角
中，内角
的对边分别为
，且______．
(1)求
；
(2)若
，
，求线段
长的最大值．
面积最值，一般符合“齐次对称结构”，可以直接用余弦定理加均值不等式。
“齐次对称结构”，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，计算量稍大
用正线定理，要注意角度的范围。
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注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先选条件，并利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化，得到角
的三角函数值，再结合
角
的取值范围即可求得角
的大小；
（2）先利用余弦定理建立关于
的方程，再利用向量的线性运算将
转化为
与
，
的
关系，两边同时平方即可将
用
表示，最后利用
是锐角三角形及换元法,利用基本不等式求
长的最大值即可．
【详解】（1）方案一：选条件①．由正弦定理得
，
∴
，∵
，∴
，即
，∵
，∴
．
方案二：选条件②．由正弦定理得
，即
，
∴
，∵
，∴
．
方案三：选条件③．由余弦定理得
，∴
，∴
，∵
，∴
．
（2）由
，得
，∵
，∴
，即
，两边同时平方得
，
∴
．令
，则
，
，
令
，则
，
，在锐角
中
，∴
，∴
，
∴
，∴
，当且仅当
时取等号，
∴线段
长的最大值为
．
2．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，且
．
(1)求
；
(2)若
是线段
上靠近
的三等分点，
，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理解三角形即可；
（2）把D 是线段AC 上靠近A 的三等分点转化为向量关系，再把向量平方可得到边长关系转化为t 的范围,
最后结合基本不等式即可求BD 的最大值
【详解】（1）
，
∴
，
∴
．又
，
．
42
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（2）方法1：由（1）得
，∵
，则
，∴
，
∴
， ∴
，
令
，则
， 令
，则
，
在锐角三角形中，
∴
，即
，
（另解：
，
∵
，
，解得
，∴
，
，即
）
∴
，∴
，当且仅当
时取等号，
∴
，∴
的最大值为
．
方法2：在
中，由余弦定理可得
，在
中，由余弦定理可得
，∵
，∴
．
∵
，∴
，
，
．
∵
，
，解得
，∴
，
∴
，∴
，∴
的最大值为
．
3．（2023·青海西宁·二模）在
中，内角
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
是边
上的一点，且
，求线段
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得到
，由辅助角公式求出答案；
（2）由正弦定理得到
，由余弦定理得到
43
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，从而求出
，得到答案.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
，又
，所以
，所以
，即
，
，又
，
所以
，所以
，所以
；
（2）在
中，由正弦定理得
，所以
.
因为
，所以
，在
中，由余弦定理得
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，即线段
的最大值为
.
4．（2024·河北衡水·一模）在
中，内角
所对的边分别是
，三角形面积为，若
为
边上一点，满足
，且
.
(1)求角
；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得
，进而求解即可；
（2）在
中由正弦定理可得
，在
中，可得
，进而得到
，结合三角恒等变化公式化简可得
，进而结合正弦函数的图
象及性质求解即可.
【详解】（1）
，
，即
，
由正弦定理得，
，
，
，
，
，由
，得
.
（2）由（1）知，
，因为
，所以
，
，
在
中，由正弦定理得
，即
，在
中，
44
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，
，
，
,
，
，
，
，所以
的取值范围为
.
题型十四：四边形中解三角形
1．（23-24 高三下·北京海淀·开学考试）如图，在平面四边形
中，
，
，
，
.
(1)求线段
的长度；
(2)求
的值.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据三角形面积公式求出
，再利用余弦定理求出线段
的长度.
（2）在
中，
中利用正弦定理，通过
，可以求出
的值.
【详解】（1）因为
，得
，在
中，由余弦
定理可得：
，
.
故线段
的长度
.
（2）由（1）知
，
，在
中，由正弦定理可得：
,
即
， 得
，又
，所以
,
四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补
这个隐形条件
45
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在
中，由正弦定理可得：
,即
，
.
所以
的值为
.
2．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）如图，平面四边形
的对角线分别为
，
，其中
，
，
．
(1)若
，
的面积为
，求
的面积；
(2)若
，
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在
中，根据正弦定理求得
，再利用余弦定理求得
，由诱导
公式得
，接着利用面积公式求得
，从而可求得
；
（2）在
中，由正弦定理得
，在
中，由正弦定理得
，由诱导公
式可得
，进而利用同角平方关系即可求解.
【详解】（1）由题意得，
，
，在
中，由余弦定理得，
．由余弦定理得，
，
∵
，∴
，∴
，故
，
∴
．
（2）在
中，由正弦定理得，
，∴
．
在
中，
，
，由正弦定理得，
，
∴
．∵
，∴
，∴
，
46
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∴
，又
，解得
．
3．（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）在平面四边形ABCD 中，
(1)若
，求
；
(2)若
求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先结合已知条件、数量积的定义求出
，再在三角形
运用余弦定理即可求解.
（2）画出图形，设
，先得出
，
，再在
中，运用正弦定
理
，由此即可得解.
【详解】（1）在
中，
，所以
，
所以
，在
中，由余弦定理得
.
因为
，解得
.
（2）如图所示：
设
，则
，
在
中，因为
，所以
，在
中，
，由正弦定理，得
，
即
，所以
，即
，
整理得
，所以
，即
.
4．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）2023 年8 月27 日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊
鸣枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求
，
，
47
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(1)若
，
，求
的值；
(2)若
，四边形ABCD 面积为4，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）
中求出BD，在
中，由正弦定理求出
，根据
即可求
；
（2）在
、
中，分别由余弦定理求出
，两式相减可得
与
的关系式；又由
的
与
的关系式；两个关系式平方后相加即可
求出
﹒
【详解】（1）在
中，∵
，则
∴
．
在
中，由正弦定理得，
，∴
．
由
，得
，∴
，∴
．
（2）在
、
中，由余弦定理得，
，
，
从而
①，
由
得，
②，
得，
，
即
，∴
．
题型十五：四边形最值与范围
1．（2023·广东惠州·一模）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四
边形
的顶点在同一平面上，已知
．
48
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(1)当
长度变化时，
是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
(2)记
与
的面积分别为
和
，请求出
的最大值．
【答案】(1)
为定值，定值为1(2)14
【分析】（1）法一：在
中由余弦定理得
，在
中由余弦定理得
，两式相减可得答案；法二：在
中由余弦定理得
，在
中由余弦定理得
，两式相减可得答案；
（2）由面积公式可得
，令
转化为二次函数配方求最值
即可．
【详解】（1）法一：在
中，由余弦定理
，
得
，即
①，
同理，在
中，
，即
②，
①
②得
，所以当
长度变化时，
为定值，定值为1；
法二：在
中，由余弦定理
得
，即
，
同理，在
中，
，所以
，
化简得
，即
，所以当
长度变化时，
为定值，定值为
1；
（2）
，令
，
所以
，所以
，即
时，
有最大值为14．
2．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，
，
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)记
与
的面积分别记为
和
，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出BD，再运用余弦定理求出
，再利用两角和公式求解；
（2）先运用余弦定理求出
与
的关系，再根据三角形面积公式求解.
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【详解】（1）∵
，∴
，
，
，
，
，∴
；
（2）设
，
，∴
，
∴
，∴
，①
，
当且仅当
，
时取最大值
；综上，
，
的最大值是
.
3．（23-24 高三上·上海杨浦·期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里
玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我.”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将
自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块平面四边形
的麦田里成为守望者.如图
所示，为了分割麦田，他将B、D 连接，经测量知
，
.
(1)霍尔顿发现无论
多长，
都为一个定值.请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系.记
与
的面积分别为
和
，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出
的最大值.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）利用余弦定理，整理等式，可得答案；
（2）利用三角形面积公式，结合三角函数恒等式，可得答案.
【详解】（1）在
中，
在
中，
则
为定值.
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（2）
，
因为
设
则
，
所以，当
时，
取得最大值
，即
时，
的最大值为
.
4．（2024·四川自贡·一模）如图，在平面四边形
中，角
.设
.
(1)用
表示四边形
对角线
的长；
(2)是否存在
使四边形
对角线
最长，若存在求出
及四边形对角线
最长的值，若不存在
请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
，
的最大值为
【分析】（1）根据余弦定理求得
关于
的表达式.
（2）根据三角函数的最值等知识求得正确答案.
【详解】（1）设
，在三角形
中，由正弦定理得
，
由余弦定理得
，在
中，
，所以
，
在三角形
中，由余弦定理得
.
（2）存在，理由如下：由（1）得
，
所以当
时，
取得最大值为
，此时
.
题型十六：解三角形中的压轴证明题（19 题）
1．（2024·河北·二模）若
内一点
满足
，则称点
为
的布洛卡点，
为
的布洛卡角．如图，已知
中，
，
，
，点
为的布洛卡点，
为
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的布洛卡角．
(1)若
，且满足
，求
的大小．
(2)若
为锐角三角形．
（ⅰ）证明：
．
（ⅱ）若
平分
，证明：
．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）先判断
与
相似，进而得到
，应用余弦定理求出
的值即可；
（2）（ⅰ）在
内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，针对
分别在
、
和
内，三次应用余弦
定理以及三角形的面积公式，且
表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，
再化简整理得：
，即可得证；（ⅱ）得出
与
的等量关系，再利用余弦定
理和三角形的面积公式，
平分
，将
代入，化简整理即可得证.
【详解】（1）若
，即
，得
，点
满足
，则
，在
和
中，
，
，
所以
与
相似，且
，所以
，即
，由余弦定理得：
cos∠ABC = a
2+c
2−b
2
2ac
，且
，
，得
，且
，所以
；
（2）（ⅰ）在
内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
，
，三式相加可得：
①
在
内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
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在
和
内，同理：
，
，
三式相等：
，
因为
，由等比性质得：
②
由①②式可证得：
；
（ⅱ）因为
，
即
，所以
，在
中，
分别由余弦定理得：
，
，
，
三式相加整理得
，
，
将
代入得：
若
平分
，则
，
，
所以
③
又由余弦定理可得：
④
由③-④得：
所以
，所以
.
【点睛】关键点点睛：根据
表示出三角形得面积，在
中，由
余弦定理相加，得出
与
的等量关系，是解决本题的关键.
2．（2023·全国·模拟预测）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，且
.
(1)求
的最大值；
(2)求证：在线段
上恒存在点
，使得
.
【答案】(1)
的最大值是
；(2)证明见解析.
【分析】（1）设
，
，则
，由
可得
，再
由余弦定理将其化为用
表示的不等式，即可得出
的取值范围；
（2）设
，求出
的取值范围，证明恒存在
，使
成立即可.
【详解】（1）设
，
，则
，
，又
，
. 由
可得，
，
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，
由余弦定理，得
整理得
，
因式分解
，又
，
所以
，
，即
，故
的最大值是
.
（2）
如图，设
，
,
则
,又
，
所以
，
，
由题意
，且
，即
，
而对给定的
来说，
是定值，
因此恒存在
，使
.
在
中，由正弦定理可得
，则
；
在
中，由正弦定理可得
，则
；
由存在
，可得存在
，即
.
因此，在线段
上恒存在点
，使得
.
3．（23-24 高三下·重庆·开学考试）如果函数
的导数
，可记为
．若
，则
表示曲线
，直线
以及
轴围成的“曲边梯形”的
面积．
(1)若
，且
，求
；
(2)已知
，证明：
，并解释其几何意义；
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(3)证明：
，
．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中定积分的含义得到.
（2）先由定积分的预算得到
，再分别构造函数
和
，利用导数分析单调性，证明结论；几何意义由题干中定积分的含义得到.
（3）先由二倍角公式化简得到
，再由定积分的意义得到
，最后根据求导与定积分的运算得到
，最后得证.
【详解】（1）当
时，因为
，所以设
，又
，代入上式可得
，所以，当
时，
；当
时，设
，同理可
得
，综上，
.
（2）因为
，所以
，设
，则
恒成立，所以
在
上单调递增，所以
，故
，即
；设
，
，则
恒成立，所以h(x)在
上单调
递增，
，所以
，综上，
.
几何意义：当
时，曲线
与直线
（
轴），
以及
轴围成的“曲边面积”大于直
线
（
轴），
以及
轴，直线
围成的矩形面积，小于
（
轴），
以及
轴，
直线
围成的矩形面积.
（3）因为
，所以
，设
，则
，所以
，
故
.
【点睛】关键点点睛：1、由题干得到求导与定积分互为逆运算；2、证明不等式时可作差构造函数，求导，
利用导数分析其单调性；3、利用定积分的几何意义得到要证明的不等式间关系，再利用求导与定积分运
算得出最后结果.
4．（2024·浙江舟山·模拟预测）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐
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标系xOy 中，螺线与坐标轴依次交于点
，
并按这样的规律继续下去．
(1)求
．
(2)求证：不存在正整数
，使得三角形
的面积为2022;
(3)求证：对于任意正整数
，三角形
为锐角三角形．
【答案】(1)5；4(2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）利用给定定义结合两点间距离公式求解即可.
（2）将原三角形合理拆分，利用直角三角形的性质求出面积，结合完全平方数的性质证明即可.
（3）利用给定定义确定最大角，利用余弦定理判定其为锐角即可.
【详解】（1）由两点间距离公式得
，
由题意得
，
，所以
.
（2）
，
，而
不可能等于
，
故不存在正整数
，使得三角形
的面积为
.
（3）
，
，
，
因为
，所以在三角形
中，
为最大角，由余弦定理得
，
，则
为锐角，
即三角形
为锐角三角形．
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义问题，解题关键是合理利用给定定义，找到最大角，然后利用余弦
定理得到其为锐角即可．
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