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专题04 解三角形（中线问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................1
方法一：向量化(三角形中线向量化）................................1
方法二：角互补...................................................4
三、专项训练........................................................7
一、必备秘籍
1、向量化(三角形中线问题）
如图在
中，
为
的中点，
(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）
2、角互补
二、典型题型
方法一：向量化(三角形中线向量化）
1．（2023·四川泸州·校考三模）在
中，角
所对的边分别为
，
，
1
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．
(1)求
的值；
(2)若
，求
边上中线
的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得：
，
，
，
，
，又
，
，解得：
.
（2）
，
，
由余弦定理得：
，
，
，
，即
边上中线
的
长为
.
2．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）
的内角
所对边分别为
，
，，已知
，
.
(1)若
，求
的周长；
(2)若
边的中点为
，求中线
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵
，由正弦定理可得：
，则
，
若
，则
，解得
，
故
的周长
.
（2）∵
，
∴
，
由（1）可得：
，即
，
2
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∵
，当且仅当
时，等号成立，
∴
，则
，
故
，则
，
所以
的最大值为
.
3．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知函数
．
(1)求
的单调递增区间；
(2)记
分别为
内角
的对边，且
，
的中线
，求
面积的最大
值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
由
，
解得
，
的单调递增区间为
；
（2）因为
，可得
，
因为
，所以
即
，
由
及
可得，
，
3
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所以
所以
即
，当且仅当
时取到等号，
所以
，
故
面积的最大值为
.
方法二：角互补
1．（2023·全国·高三专题练习）在①
；②
；③
，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在
中，角A，B，C
所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求角C 的大小；
(2)若
，求
的中线
长度的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）选择条件①：由
及正弦定理，得：
，
即
，由余弦定理，得
,
因为
，所以
；
选择条件②：由
及正弦定理，
得：
，
即
.
即
.
在
中，
，所以
，
即
，因为
，所以
，所以
,
因为
，所以
；
选择条件③：由
及正弦定理，
4
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得：
，
因为
,
，所以
.
在
中，
，则
，
故
.
因为
，所以
，则
，
故
；
（2）因为
，所以
，
整理得
，
在三角形
中，由余弦定理得
.
因为
，当且仅当
时取等号，
所以
，即
，
所以
，即
，
即
长度的最小值为
.
2．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A；
(2)若AD 为BC 边上中线，
，求△ABC 的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得
，
∴
，
5
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∴
,
∴
，
∵
，∴
，
又∵
, ∴
,
（2）由已知得
，
，
在△
中，由余弦定理得
，
在△
中，由余弦定理得
，
又∵
,
∴
，
在△
中，由余弦定理得
，
以上两式消去
得
, 解得
或
（舍去），
则
.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)在
中，
分别是角
的对边，
，若
为
上一点，且满足
____________，求
的面积.
请从①
；②
为
的中线，且
；③
为
的角平分线，且
.
这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
，
(2)答案见解析
【详解】（1）
，
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由
，得
，
，
∴函数
的单调递增区间为
，
；
（2）由
，得
，
又
中
，
，可知
；
若选①
：
由
，可知
，可化为
，
又
，则
，
又
中
，故
，所以
，
则
，故
；
若选②：
为
的中线，且
在
中，
，
，则有
，
在
中，
，
在
中，
，
又
，
则
则
，又知
，故
；
故
；
若选③：
为
的角平分线，且
.
由题意知，
，
即
，整理得
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又在
中，
，
，则有
，
故
解之得，
，故
.
三、专项训练
1．（2023·全国·高三专题练习）在等腰
中，AB＝AC，若AC 边上的中线BD 的长为3，则
的面
积的最大值是（ ）
A．6
B．12
C．18
D．24
【答案】A
【详解】设
，
，
由于
，
在
和
中应用余弦定理可得：
，整理可得：
，
结合勾股定理可得
的面积：
，
当且仅当
时等号成立．
则
面积的最大值为6．
故选：A.
2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知
．
(1)求A；
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(2)若
，求
边中线
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得
，
由余弦定理可得
，整理得
，
由余弦定理可得
，又
，
所以
．
（2）因为M 为
的中点，所以
，
则
，
即
．
因为
，所以
．
所以
，
所以
．
3．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知在
中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c，
．
(1)若BC 边上的高等于
，求
；
(2)若
，求AB 边上的中线CD 长度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）过
作
，垂足为
，则
，
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，
，
在三角形
中，由余弦定理得
.
（2）
，
，两边平方得
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为
.
4．（2023·浙江杭州·统考一模）已知
中角
、
、
所对的边分别为
、
、，且满足
，
．
(1)求角A；
(2)若
，
边上中线
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
所以由正弦定理得
，
，
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，即
，
，
，
，
；
（2）
，
则
， 即
，
而
，
边上中线
，
故
，解得
，
．
5．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求中线AD 长的最大值（点D 是边BC 中点）．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得：
,
即
，
,
因为
，所以
，
所以
，
因为
,所以
.
（2）由（1）得
，
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则
，
所以
，即
，
当且仅当
时等号成立，
因为点D 是边BC 中点，
所以
,
两边平方可得：
,
则
，
所以
，
中线AD 长的最大值为
.
6．（2023·四川内江·校考模拟预测）在△ABC 中，D 是边BC 上的点，
，
，AD 平分
∠BAC，△ABD 的面积是△ACD 的面积的两倍．
(1)求△ACD 的面积；
(2)求△ABC 的边BC 上的中线AE 的长．
【答案】(1)
(2)
．
【详解】（1）由已知及正弦定理可得：
，
化简得：
．
又因为：
，所以
， 所以
，
所以△ACD 的面积为
．
（2）由（1）可知
，因为AE 是△ABC 的边BC 上的中线，
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所以
，
所以
，
所以△ABC 的边BC 上的中线AE 的长为
．
7．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，
b，c，且
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
边上的中线
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意有
，又
，
，又
，
解得
，
，
；
（2）因为
所以
，
当且仅当
时成立，
故
面积的最大值为
.
8．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）在
中，角
所对的边分别为
.
(1)求
；
(2)若
，求
的中线
的最小值.
【答案】(1)
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(2)
【详解】（1）因为
所以
，
由正弦定理可得
，所以
，因为
，
则
；
（2）由题意
，
则
，
则
，即
的中线
的最小值为
（当且仅当
取最小值）；
综上，
的最小值为
.
9．（2023·安徽淮南·统考一模）已知
内角
所对的边分别为
，面积为
，再从条件①、
条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求：
(1)求角
的大小；
(2)求
边中线
长的最小值.
条件①：
;
条件②：
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选条件①：
,
因为
中
，所以
，
由正弦定理可得
，
即
，
，
又
,所以
.
选条件②：
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由余弦定理可得
即
，
由正弦定理可得
，
因为
，所以
，所以
，即
，
又
,所以
.
（2）由（1）知，
的面积为
，所以
，解得
，
由平面向量可知
，
所以
，
当且仅当
时取等号，
故
边中线
的最小值为
.
10．（2023·全国·高三专题练习）如图,已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求B；
(2)若AC 边上的中线
，且
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵
，
由余弦定理可得
，
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∴
，
∴
，由
，
∴
.
（2）如图，
由（1）得
，
，①
由余弦定理知
，即
，②
在
中，由余弦定理得：
，
在
中，由余弦定理得：
，
因为
，所以
③
由①②③，得
，
所以
，
所以
的周长
．
11．（2023 秋·广东深圳·高三统考期末）在
中，角
，
，
对边分别为
，
，，且
，
.
(1)求
；
(2)若
，
边上中线
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理有
，
因为
，有
，
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因为
，故
，
；
（2）法一：在
和
中，
，
因为
，
，则
，
因为
，所以
，
所以
；
法二：因为
，所以
，
有
，
因为
，所以
，
所以
；
法三：如图，作
交
于
，则
是
的中点，
所以
，
，
，
即
，解得
，
所以
.
12．（2023·全国·高三专题练习）在
中，
.
(1)求
；
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(2)求
边上的中线.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
，故
，
所以
，解得
，
故
，故
.
（2）如图所示，
是
中点，连接
，
，
，
，
故
，解得
，即
边上的中线为
.
13．（2023 秋·广东茂名·高三统考阶段练习）锐角
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
的面积
.
(1)求
；
(2)若
，边
的中线
，求
，
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
的面积
，
由题意
，
，
由正弦定理得
，
，
，
为三角形内角，
，
，
，
，
18
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又因为
为锐角，
.
（2）由题意知
，
，
在
中
，即
，
在
中，
，即
.
.
，
.
由（1）知
，
，
.
由
，解得
.
14．（2023·全国·高三专题练习）在
中，
(1)求角A 的大小
(2)若BC 边上的中线
，且
，求
的周长
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）由已知
，
由正弦定理得：
，
由余弦定理得：
，
在
中，因为
，
所以
；
（2）由
，得
①，
由（1）知
，即
②，
在
中，由余弦定理得：
，
在
中，由余弦定理得：
，
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因为
，所以
③，
由①②③，得
，
所以
，
所以
的周长
.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
．
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)在
中，
分别是角
的对边，
，
，若
为
上一点，满足
为
的中线，且
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
；
令
，解得：
，
的单调递增区间为
.
（2）由（1）知：
，即
，
又
，
，
，解得：
；
在
中，由余弦定理得：
；
20
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在
中，由余弦定理得：
；
，
，即
，
；
在
中，由余弦定理得：
，
解得：
；
，
，
的周长为
.
21
