文档文本内容
1
【斜边中线的应用及构造】题集【A】
知识回顾
由矩形的性质可以推出，直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【拓展】
（）已知，在
中，
，则
．
（）已知，在
中，
，则
．
（）已知，
是直角三角形，
，
，则
，
．
【总结】
① 在直角三角形中，如果遇到斜边中点，优先考虑应用直角三角形斜边中线的性质．
② 遇到直角三角形，可尝试取斜边中点，并连接直角顶点，应用直角三角形斜边中线的性质．
③ 直角三角形斜边中线一般可以用来证明线段的倍分关系及角的倍分关系．
④ 注意一定在已知直角三角形的前提下才能应用直角三角形斜边中线的性质．
⑤ 注意在应用直角三角形拓展的时候一定要证明，不可以当定理直接使用的．
1. 有直角、有中点、直接应用
【典型模型】：
遇存在公共边的两个直角三角形时，要想到构造两个直角三角形斜边的中线．
如图，
和
有公共斜边
．
辅助线作法：取
中点
，连接
、
，可证明
=
．
2
A.
B.
C.
D.
平分
1.
A
选项：
B
选项：
C
选项：
D
选项：
【解析】
如图，在
中，
，
，
分别是
，
的中点，以
为斜边作
，若
，则下列结论不正确的是（ ）．
【答案】C
∵
、
分别为
、
的中点，
∴
，
在等腰
中，
是斜边
的中点，
∴
也为等腰直角三角形，
∴
，
故
选项正确；
同理，在等腰
中，
，
又∵
，
∴
，故正确；
，
故选项错误．
已证
，
又∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
3
【标注】
∴
，
∴
，即
平分
，
故
选项正确；
故选
C
.
【能力】推理论证能力
【知识点】角的平分线及等分线的定义
【知识点】中位线定理及其应用
【知识点】等腰直角三角形的性质
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
2.
【解析】
【标注】
如图，在四边形
中，
，
，
为
中点，
，求证：
．
【答案】证明见解析．
∵
，
，
∴
和
都是直角三角形，
∵
为
中点，
，
，
∴
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
.
【知识点】等边三角形的判定
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
【能力】推理论证能力
3.
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
如图，
、
是锐角
的两条高，
，
分别是
、
的中点，若
，
．
证明：
．
判断
与
的位置关系，并证明你的结论．
求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
垂直平分
．
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
如图所示，连接
，
，
∵
，
，
为
中点，
∴在
和
中，
与
分别为
和
的斜边上的中线，
∴
，
又∵
是
的中点，
∴
垂直平分
．
∵
，
，
∴
，
，
由勾股定理得，
．
【能力】推理论证能力
5
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【知识点】勾股数
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
共斜边模型的应用：
如图，在
中，
、
分别为边
、
上的高，
为
的中点，
于
．求证：
．
如图，在
中，
是
边上一点，过
点作
于
，
于
，
、
分
别是
、
的中点．求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
连接
、
．
∵
、
分别为边
、
上的高，
∴
，
又∵
为
上的中点，
，
，
∴
，
又∵
，
∴
．
连接
、
，
6
【标注】
∵
，
，
∴
，
∵
是
的中点，
∴
，
∴
是等腰三角形，
∵
是
的中点，
∴
．
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
【能力】推理论证能力
5.
【解析】
在
中，
，
，
为高，
是
的中点，连接
，
，
．则以下结论：
①
；②
是等边三角形；③
；④当
时，
；其中一定正确的有 ．（填序号）
【答案】①②④
∵
，
，
为
的中点，
∴
，
，
∴
，①正确；
又∵
，
，
设
与
交点为
，
7
【标注】
则
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
又∵
，
∴
是等边三角形，②正确；
当
时，又
，
∴
，
，
又
，
∴
，④正确．
故答案为：①②④．
【能力】运算能力
【能力】抽象概括能力
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
【解析】
如图，已知在
中，
于
，
于
，
、
分别是
、
的中点．
求证：
．
若
，
，求
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
、
，
在
中，
，
在
中，
，
8
（2 ）
【标注】
∴
．
∵点
为
中点，
∴
．
∵
，
∴
，
在
中，
．
∴
．
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【知识点】勾股定理
2. 有中点、无直角、造直角
【解析】
如图，正方形
和正方形
中，点
在
上，
，
，点
是
的中点，
那么
的长是 ．
【答案】
连接
、
，
∵
、
是正方形
、
的对角线，
∴
，
，
，
∴
，
．
在
中，
是
的中点，
∴
．
9
【标注】【知识点】正方形的性质
【知识点】勾股定理的综合应用
【能力】推理论证能力
3. 有直角、无中点、取中点、连接出中线
【典型模型】：
如图，在
中，
为
中点，以
、
为斜边构建
、
，
，
，则
．
【证明】斜边中线
中位线法
证明：取
、
中点
、
，连接
、
、
、
，
∵
和
是直角三角形，
∴
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
．
10
∵点
，
、
分别为
，
、
的中点，
∴
，
，
，
，
∴
，
，四边形
为平行四边形，
∴
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
1.
方法一：
方法二：
【解析】
已知：在
中，
，
是
中点，
于
．求证：
．
【答案】证明见解析．
由于
是
中点，
因此平移
过
，会产生
．
是直角三角形，故可考虑斜边上的中线，它的长也等于
．
过
作
的平行线交
于
，由于
是
中点，所以有：
，且
是
的中点；又有
∵
是直角三角形，
∴
，于是
，
而
，
∴
，故
取
中点
，连结
、
，则
，
，
11
【标注】
于是，
，而
，
由于
，所以
．
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，
，矩形
的顶点
、
分别在边
、
上，当
在边
上运动时，
随之在
上运动，矩形
的形状保持不变，其中
，
，运动过程中，点
到
点
的最大距离为（ ）．
【答案】A
取
中点
，连接
、
，则
，当
、
、
三点共线时，点
到
点
的距离最大．
【知识点】矩形的性质
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【知识点】勾股定理
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
【知识点】坐标系中的动点问题（非函数）
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图所示，在
中，
为
的中点，分别延长
、
到点
、
，使
．过
、
分别作直线
、
的垂线，相交于点
，设线段
、
的中点分别为
、
．求证：
≌
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
如图所示，根据题意可知
且
，
且
，
所以
．
而
、
分别是直角三角形
、
的斜边的中
点，
所以
，
，
又已知
，
从而
≌
．
由（）可知
，
则由
可得
．
13
【标注】
而
、
均为等腰三角形，
所以
．
【知识点】截长补短
