文档文本内容
1
圆【章节复习】压轴题-辅助圆 题集C3
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在
中，
，
，
于点
，
于点
．如图，连接
，
点
与点
关于直线
对称，连接
、
．
依题意将图补全．
小明通过观察、实验，提出猜想：
．小明把这猜想与同学们进行交流，通
过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：由
且
，联想到旋转，过点
作
交
于点
，要
证
，需证
和
．
想法2：由
，
可知
，联想到平移，在
上取一点
，使得
， 连接
，要证
，需证
≌
．
想法3：延长
到点
，使得
，连接
．要证
，可以通过证
明
和
相似，从而证得
．
请你参考上面的想法，帮助小明证明他的猜想．
【答案】（1 ）
（2 ）
作图见解析．
证明见解析．
想法1：
过点
作
交
于点
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
2
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
关于直线
对称，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
．
想法2：在
上取一点
，使得
，
连接
交
于点
．
∵点
，
关于
对称，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∵
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
、
、
、
四点共圆，
3
∴
，
∵
，
∴
，
∵
、
关于
对称，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
．
想法3：延长
至点
，使得
，连接
，
∵
，
，
∴
、
、
、
四点共圆，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，即
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∵
、
关于
对称，
∴
，
，
4
【标注】
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】平行四边形与全等综合
1
2
（1 ）
1
2
（2 ）
2.
1
2
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，
，
为
延长线上一点，连接
，
于
点
．
记
的外接圆为
．
请用文字描述圆心
的位置．
求证：点
一定在
上．
将射线
绕点
顺时针旋转
后，所得到的射线于
延长线交于点
，连接
，
．
依题意补全图形．
用等式表示线段
，
，
的数量关系，并证明．
【答案】
1
2
（1 ）
1
2
（2 ）
在线段
的中点．
证明见解析．
作图见解析．
，证明见解析．
在线段
的中点．
如图，连接
，
5
1
2
（2 ）
【标注】
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
在
上．
变换后的图形如下图所示：
．
作
，交
于点
，
易证
≌
，
∴
．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
3. 如图，在
中，
，
，
为
上一点（与点
，
不重合），连接
，过点
作
的延长线于
．
6
1
2
（1 ）
1
2
（2 ）
1
2
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
解答：
在图中作出
的外接圆⊙
，并用文字描述圆心
的位置．
连接
，求证：点
在⊙
上．
解答：
延长线段
至点
，使
，连接
，根据题意补全图形．
用等式表示线段
与
的数量关系，并证明．
【答案】
1
2
（1 ）
1
2
（2 ）
画图见解析，圆心
的位置在线段
的中点．
证明见解析．
画图见解析．
，证明见解析．
圆心
的位置在线段
的中点，作图如下：
∵
，
∴
为直角三角形，
∵圆心
的位置在线段
的中点，
∴
，
∴点
在⊙
上．
补全图形如下图：
7
2
【标注】
，
证明如下：
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
∵在等腰
中，
，
∴
．
【知识点】圆与全等
图
（1 ）
图
（2 ）
（3 ）
4. 在平行四边形
中，
是
上一点，
，过点
作直线
．
若
，
交
于点
，请在图中补全图形，并判断四边形
的形
状．
如图，若
，
与
相交，在
上取一点
，使得
，连
接
，请在图中补全图形，并证明点
，
，
，
在同一个圆上．
如图，若
（
），
与
相交，在
上取一点
，使得
，连接
．请在图中补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹），直
8
图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
接写出线段
，
，
之间的数量关系（用含的式子表示）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析，四边形
是菱形．
画图见解析，证明见解析．
画图见解析，
．
如图，在平行四边形
中，
是
上一点，
，过点
作射线
，
交
于点
，即
，
∵
，
，
∴四边形
是平行四边形，
∵
，
∴四边形
是菱形．
若
，
与
相交，在
上取一点
，
使得
，
连接
、
，以
的中点
为圆心、
的长为半径作圆，则⊙
为
的外接
圆，
∴
、
、
三点共圆，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴点
，
，
，
在同一个圆上．
如图，作
交
于点
，作
于点
，
∴
，
∵点
、
、
、
在同一个圆上，
∴
，
∴在
与
中，
，
9
【标注】
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】作三角形的外接圆
