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【四边形中的找规律问题】题集【A】
等比数列
（1）特点：后一个数与前一个数的比值相等，相等的比值叫做公比．
（2）求第项：
第一项为
，公比为，
第二项为
，
第三项为
，
……
第项为
，
【注意】：
图形找规律的问题就是数列找规律的另一种体现，题目大多是找线段之间的关系或面积之间的关系，这
类规律问题符合等比数列的特点，我们先根据题目要求算出前三、四项，再找到公比即可解决问题．
1. 特殊四边形组合类
1.
【解析】
如图，矩形
的面积为，它的两条对角线交于点
，以
、
为两邻边作平行四边形
，平行四边形
的对角线交于点
，同样以
、
为两邻边作平行四边形
，
，依次类推，则平行四边形
的面积为 ．
【答案】
矩形
的面积为，
平行四边形
的面积为
，
平行四边形
的面积为
，
2
【标注】
平行四边形
的面积为
．
【能力】推理论证能力
【知识点】平行四边形性质综合应用
【知识点】平行四边形的周长与面积
【知识点】数列找规律-等比数列的衍生数列
2.
【解析】
如图，边长为的菱形
中，
，连接对角线
，以
为边作第二个菱形
，使
，连接
，再以
为边作第三个菱形
，使
，
，按此规律所作的第个菱形的边长为 ．
【答案】
连接
，
∵四边形
是菱形，
∴
．
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
3
【标注】
∴
，
同理可得
，
，
按此规律所作的第个菱形的边长为
，
故答案为：
．
【知识点】菱形的性质
【能力】抽象概括能力
2. 中点类
1.
【解析】
【标注】
如图，下图是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案，第个图中菱形的面积为（为常数），第
个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形中点得到的菱形产生的，依此类推
，则第个图中阴影部分的面积为： ，第个图中阴影部分的面积可以用含的代数式
表示为 （
，且是正整数）．
第个
第个
第个
第
个
【答案】
;
第个图中阴影部分面积为
，
第个图中阴影部分面积为
，
第个图中阴影部分面积为
，
第个图中阴影部分面积为
．
【知识点】数列找规律-图形类的等比数列
【能力】推理论证能力
【思想】数形结合思想
4
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，依次连接第一个矩形各边中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第二个矩形，按
照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为，则第六个矩形的面积为（ ）．
【答案】D
第个矩形面积为
，故第六个矩形的面积为
．
【知识点】数列找规律-其他数列规律
【能力】抽象概括能力
【能力】运算能力
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，四边形
中，
，
，且
，顺次连接四边形
各边中点，
得到四边形
，再顺次连接四边形
各边中点，得到四边形
，如
此进行下去，得到四边形
．
四边形
是 形．
四边形
是 形．
四边形
的周长是 ．
四边形
的面积是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
菱
矩
∵
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点，
∴
，
，
5
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【标注】
，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴四边形
为矩形，
∴
．
同理：又∵
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点，
∴
，
，
∴四边形
是菱形．
由①可知：四边形
是菱形，
根据中位线定理：四边形
是矩形．
，
，
∵四边形
是矩形，
∴四边形
周长为：
．
∵四边形
中，
，
，且
，
∴
，
由三角形中位线的性质可推知：每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
∴四边形
的面积是：
．
【知识点】中位线定理及其应用
四边形
4. 如图，四边形
中，
，
，
，顺次连接四边形
各边中点，得到
四边形
，再顺次连接四边形
各边中点，得到四边形
，如此进
行下去，得到四边形
，则下列结论正确的个数有（ ）．
①四边形
是矩形；②四边形
是菱形；
③四边形
是周长为
；④四边形
是面积
．
6
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
【标注】
【答案】A
【知识点】中点四边形
5.
【解析】
【标注】
如图，
中，
，
，
．点
，
，
分别是边
，
，
的中点；点
，
，
分别是边
，
，
的中点；
；以此类推，则
的周长是 ，
的周长是 ．
【答案】 ;
∵点
，
，
分别是边
，
，
的中点，
∴
，
，
分别是边
，
，
的
，
∵
，
，
，
∴
的周长为
，
的周长为．
以此类推，
的周长为
，则
的周长为．
【知识点】代数式找规律；三角形中位线定理
6.
7
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
如图，在平面直角坐标系中，
、
两点分别在轴和轴上，
，
，连接
，过
中点
分别作轴和轴的垂线，垂足分别是点
、
，连接
，再过
中点
作轴和
轴的垂线，照此规律依次作下去，则点
的坐标为（ ）．
【答案】D
根据题意，因为
和
为
的中位线，
，
，
所以
，
，
故点
的坐标为
，
同理可得
，
，
以此类推，可以求出
，
，
所以点
的坐标为
．
故选：
．
【知识点】点坐标找规律
