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圆【章节复习】压轴题-辅助圆 题集C4
1
2
（1 ）
（2 ）
1.
1
（1 ）
【解析】
如图，
中，
，以斜边
为边向外作正方形
，且正方形对角线交于
点
，连接
．
回答下列问题：
试判断
是否是
的角平分线，并加以证明．
若已知
，
，则求另一直角边
的长是多少？请写出求
长的思
路（可以不写出计算结果）．
以
斜边
为边作正方形
，且正方形
与
在直线
同
侧，正方形对角线交于点
，连接
，依题意画出相应图形，并直接写出
的度数．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
是
的角平分线，证明见解析．
思路见解析．
．
是
的角平分线，
延长
，作
交于点
，作
交于点
．
在正方形
中，
，
，
在四边形
中
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
≌
，
2
2
（2 ）
【标注】
∴
，
∴
平分
．
．在
中，由
，
平分
，
可求
．
．由
，
可得四边形
是正方
形，
∵
，
∴可求
．
．由
≌
可得
，
从而求
．
如图：
在正方形
中，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴点
、
、
、
四点共圆，
∴
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
2. 如图，已知正方形
的边长为，点
是
边上的一个动点，连接
，过点
作
的垂线交
于点
，以
为边作正方形
，顶点
在线段
上，对角线
、
相交于点
．
备用图
3
（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
（1 ）
方法一：
方法二：
1
（2 ）
【解析】
若
，则
．
解答下列问题 .
求证：点
一定在
的外接圆上．
当点
从点
运动到点
时，点
也随之运动，求点
经过的路径长．
在点
从点
到点
的运动过程中，
的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到
边的
距离的最大值．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
∵四边形
、四边形
是正方形，
∴
，
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
解得：
．
故答案为：
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
、
、
、
四点共圆，
∴点
一定在
的外接圆上．
如图，取
的中点
，连接
，
，
∵
，
∴
，
4
2
（3 ）
∵
是直角三角形，
∴点
是
外接圆的圆心，
∴
，
∴
，
∴点
一定在
的外接圆上．（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上）
连接
、
，如图所示：
图
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∴
，
∵
、
、
、
四点共圆，
∴
，
∴点
在
上，
当
运动到点
时，
为
的中点，
，
即点
经过的路径长为
．
设
的外接圆的圆心为
，作
于
，如图所示：
则
，
图
∵
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
由（）得：
，
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【标注】
∴
，即
，
解得：
，
∴
时，
的最大值为，此时
的值最大
，
即
的圆心到
边的距离的最大值为
．
【知识点】圆内接四边形综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知正方形
，点
为边
的中点．
图
图
如图，点
为线段
上的一点，且
，延长
、
分别与边
、
交于
点
、
．求证：
．
在（）的条件下，求证：
．
如图，在边
上取一点
，满足
，连接
交
于点
，连接
并延
长交
于点
，直接写出
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
连接
，证
、
、
、
共圆，
6
图
（3 ）
【标注】
则
，
易证
，
∴
，
∵
，
∴
．
延长
，
交于点
，如图，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，即
，
∵
，
，
∴
，
由
，知
，
又
，∴
，
不妨假设正方形的边长为，
设
，则由
，得
，
解得
，
（不合题意，舍去）
∴
，即
，
即
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
4. 如图，在
和
中，
，
，
，点
在
上，
是线段
的中点，连接
、
．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
图
请你探究线段
与
之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）．
将图中的
绕点
顺时针旋转，使
的一边
恰好与
的边
在同一条
直线上（如图），连接
，取
的中点
，问（）中的结论是否仍然成立，并说明理
由．
图
将图中的
绕点
顺时针旋转任意的角度（如图），连接
，取
的中点
，问（
）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
线段
与
之间的数量关系是
．
（）中的结论仍然成立．
（）中的结论仍然成立．
如图，连接
，线段
与
之间的数量关系是
；
8
（2 ）
∵
，
∴
、
、
、
四点共圆．
且
是该圆的直径，
∵点
是
的中点，
∴点
是圆心，
∴
，
∴
，
，
由圆周角定理得：
，
∴
．
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
．
（）中的结论仍然成立．
如图，连接
，延长
交
于点
，
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
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（3 ）
∴
，
∴
，
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
（）中的结论仍然成立．
如图，取
的中点
，连接
，
，取
的中点
，连接
、
、
，
∵
，
∴
，且
，
∵
，
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
，
由
，
，可得
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
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【标注】【知识点】四点共圆的应用
