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1
圆【章节复习】圆压轴 题集C22
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
方法一：
（1 ）
【解析】
如图，
、
是⊙
上的两点，
，
是弧
的中点．
求证：四边形
是菱形．
如图，弦
在优弧
上滑动（不与
、
重合），且
，连接
、
分
别交
、
于
、
；若
，当弦
在优弧
上滑动时，分别探讨四边形
和
的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出面积的
取值范围．
在（）的条件下，
的周长最小值为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
，
．
连接
，
四边形
2
方法二：
方法一：
（2 ）
∵
是弧
的中点，
∴
，
且
，
又∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
与
都为等边三角形，
∴
，
∴四边形
是菱形．
连接
，
则易证：
为等边三角形，
∴
，∴四边形
为菱形．
连接
、
、
，
在
中，
，
，
∴
，
，
可证：
≌
，
∴
，
∴
为等边三角形，
3
方法二：
方法一：
方法二：
（3 ）
【标注】
∴
，为定值，
∵
为等边三角形，
当
的长最小时，
最小，
此时，
最大，
当
时，
最小为
，
∴
的最大值为
，
∴
．
①四边形
面积为定值，过
作
于，
于，
则
，易证：
≌
，
∴
．
②
会发生变化，∵
，
而
，
当
与
垂直时，
，
∴
，∴
，∴
．
．
，
∴
．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
四边形
（1 ）
2. 如图，⊙
的半径为，点
是⊙
上一点，弦
垂直平分线段
，点
是弧
上的任一点
（与端点
，
不重合），
于点
，以点
为圆心、
长为半径作⊙
，分别过点
，
作⊙
的切线，两条切线相交于点
．
求弦
的长．
4
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
判断
是否为定值？若是，求出
的大小；否则，请说明理由．
记
的面积为，若
，求
的周长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
连接
，取
与
的交点为
，
则有
．
∵弦
垂直平分线段
，
∴
，
，
在
中，
∵
，
∴
．
是定值．
理由：连接
、
，
由（）得：
，
，
∴
，
∴
，
5
（3 ）
∴
，
∵点
为
的内心，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
记
的周长为，取
，
与⊙
的切点分别为
，
，连接
．
连接
，
，
，
则有
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
是⊙
的切线，
∴
，
∴在
中，
，
∴
，
又由切线长定理可知
，
，
∴
，
6
【标注】
，
解得
，
∴
的周长为
．
【知识点】切线的性质定理
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形，类似地，我们定义：有一内角为
的三角形
叫做半直角三角形，如图，在平面直角坐标系中，
为原点，
，
，
是轴上的一个
动点，
（
、
、
按顺时针方向排列），
与经过
、
、
三点的⊙
交于点
，
平分
，连结
，
，显然
，
，
是半直角三角形．
求证：
是半直角三角形．
求证：
．
若点
的坐标为
．
求
的长．
记
与
的交点为
，求
与
的面积之比．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
．
∵
，
平分
，
∴
，
∵
∴
是半直角三角形．
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（2 ）
1
2
（3 ）
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
、
、
、
四点共圆，
∴
，
∵
，
∴
．
如图，连接
，
，
设⊙
的半径为，
∵点
的坐标为
，
∴
，
由
得：
， 计
算得
，
∴⊙
的半径为
∵
∴
∴
∴
．
如图，∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
延长
交
于
，过
作
于
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
8
【标注】
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
由勾股定理得:
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
由勾股定理得:
，
∴
，
∴
．
【知识点】与三角形有关的新定义
