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反比例函数章节复习：新定义【题集C2】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
定义：如果一个与的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是与
的“反比例平移函数”．
例如：
的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到
的图象，则
是与的“反比例平移函数”．
若矩形的两边分别是
、
，当这两边分别增加
、
后，得到的新矩形的面积
为
，求与的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．
如图，在平面直角坐标系中，点
为原点，矩形
的顶点
、
的坐标分别为
、
．点
是
的中点，连接
、
交于点
，“反比例平移函数”
的图
象经过
、
两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为 ；这个“反比例平移函
数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达
式 ．
x
y
O
A
B
C
D
E
在（）的条件下，已知过线段
中点的一条直线交这个“反比例平移函数”图象于
、
两点(
在
的右侧)，若
、
、
、
为顶点组成的四边形面积为
，请求出点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
函数表达式为
，是“反比例平移函数”．
;
点
的坐标为
或
．
由题意得
，
∴
．
向右平移个单位，再向上平移个单位得到
．
∴
是“反比例平移函数”．
“反比例平移函数”的表达式为
，
变换后的反比例函数表达式为
．
2
x
y
O
A
B
C
E
M
N
F
P
Q
【标注】
如图，当点
在点
左侧时，设线段
的中点为
，由反比例函数中心对称性，四边形
为平行四边形．
∵四边形
的面积为
，
∴
，
∵
，
．
是
的“反比例平移函数”，
∴
，
．
过
作轴的垂线，与
、轴分别交于
、
点．
．
设
，
∴
，
即
．
∴
，
∴
，
∴点
的坐标为
．
当点
在点
右侧时，同理可得点
的坐标为
．
∴点
的坐标为
或
．
【知识点】反比例函数与四边形综合
四边形
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 定义：若一次函数
与反比例函数
满足
，则称
为一次函
数和反比例函数的“等比”函数．
试判断(需写出判断过程)一次函数
与反比例函数
是否存在“等比”函数？
若存在，请写出它们的“等比”函数的解析式．
若一次函数
，与反比例函数
存在“等比”函数，且“等比”函数
的图象与
的图象的交点的横坐标为
，求反比例函数的解析式
若一次函数
与反比例函数
(其中
)存在“等比”函数，
且
的图象与“等比”函数图象有两个交点
，试判断
“等比”函数图象上是否存在一点
(其中
)，使得
的面积最大？若
存在，请用表示
面积的最大值；若不存在，请说明现由．
，
，
，
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
存在．
或
．
．
存在，
．
假设一次函数
与反比例函数
存在“等比”函数，则
，
解得：
或
．
∴存在“等比”函数，其解析式为
或
．
根据题意知，
，
∴
∵
，
∴
则“等比”函数的解析式为
，
根据题意，
时，
，
∴
，即
解得：
，
∴
，
故反比例函数的解析式为
．
存在，
∵
，且
，
∴
，
∵
∴
，
则一次函数解析式为
，“等比”函数解析式为
，
由
化简得：
∴
，
，
∴
，
，
4
【标注】
x
y
O
如图，过点
作
轴，交
于
，
∴
∴
∴
∴当
时，取得最大值，最大值为
．
【知识点】与函数有关的新定义
，
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
定义：点
在一次函数
图象上，点
在反例函数
图象上，若存在点
与点
关于原
点对称，我们称二次函数
为一次函数
与反比例函数
的“新时代
函数”，点
称为“幸福点”．
判断
与
是否存在“新时代函数”，如果存在，请求出“幸福点”坐标．如
果不存在，请说明理由．
若反比例函数
与一次函数
有两个“幸福点”，
和
，且
，求其“新时代函数”的解析式．
若一次函数
和反比例函数
在自变量的值满足
的情况
下，其“新时代函数”的最小值为，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
存在，
或
．
或
．
或
．
，
5
（2 ）
（3 ）
【标注】
，
，
或
∴
或
．
，
，
，
，
，
，
∴
．
，
．
∴
．
∴
或
．
，
，
新时代函数
，对称轴：
．
①当
，即
时，
，
，
∴
．
②当
，好
，
，
∴无解．
③当
，即
时，
，
．
∴
或
．
【知识点】与函数有关的新定义
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