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1
双曲线与直线：交点与判别式【题集】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，直线
与两坐标轴分别相交于点
、
．
当反比例函数
的图象在第一象限内与直线至少有一个交点时，求
的取值范围．
若反比例函数
在第一象限内与直线相交于点
、
，当
时，求
的值．
在（）的条件下，请你直接写出关于的不等式
的解集．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
或
当反比例函数
的图象在第一象限内与直线至少有一个交
点，得
，整理得：
，
，
解得
．
∴
的取值范围为：
．
∵
，
设该方程的两根是
、
．
∴
，
，
∵
，
∴
，
即
，
2
（3 ）
【标注】
解得
．
当
时，
，
解得
，
，
由反比例函数图象在直线上方的区域得
或
．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知点
是反比例函数
图象上的一点，由
向轴作垂线，垂足为
．
若
的面积为，则实数
．
若直线
与双曲线
有两个公共点，则实数的取值范围
是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
依题可知，
，
，
，
．
直线
与双曲线
有两个公共点，
即
有两个不相等的实数根，
，即
．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
3. 如图，直线
与双曲线
相交于
，
两点，与轴相交于
点，
的面
积是
．若将直线
向下平移个单位，求所得直线与双曲线
的交点个数．
x
y
O
【答案】．
3
【解析】
【标注】
由题意得
，
，
，
联立
得
，
∴只有一个交点．
故答案为：．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
，
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个或个
4.
【解析】
【标注】
一次函数
的图象与反比例函数
的图象交点个数为（ ）．
【答案】D
联立
，
∵
，
∴方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根，则交点的个数为个或个．
【知识点】判断反比例函数与一次函数交点个数
A. 只有一个交点
B. 有两个交点
C. 没有交点
D. 不能确定
5.
【解析】
【标注】
一次函数
与反比例函数
的图象的交点的情况为（ ）．
【答案】B
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴有两个交点．
【知识点】判断反比例函数与一次函数交点个数
6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形
是菱形，
、
在轴负半轴上，
，
，一次函数
的图象过
、
两点，反比例函数
的图象过
的中
4
（1 ）
（2 ）
（1 ）
【解析】
点
．
求一次函数和反比例函数的表达式．
平移一次函数
的图象，当一次函数
的图象与反比例函数
的图
象无交点时，求的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
一次函数的解析式为：
，反比例函数的解析式为：
．
的取值范围是
．
连接
，交
于
，如图所示：
∵四边形
是菱形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
根据勾股定理得：
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
把点
，
代入一次函数
得：
5
（2 ）
【标注】
，解得：
，
∴一次函数的解析式为：
．
∵
是
的中点，
，
∴
，
把点
代入反比例函数
得：
，
∴反比例函数的解析式为：
．
根据题意得：一次函数的解析式为：
，
∵一次函数
的图象与反比例函数
的图象无交点，
∴方程组
无解，
即
无解，整理得：
，
∴
，
，
解得：
，
∴当一次函数
的图象与反比例函数
的图象无交点时，的取值范围是
．
【知识点】反比例函数与四边形综合
A. 只有—个交点
B. 有两个交点
C. 没有交点
D. 不能确定
7.
【解析】
【标注】
一次函数
与反比例函数
的图象的交点的情况为（ ）．
【答案】C
联立两个函数
，
整理成一元二次方程
，
，
所以没有交点．
【知识点】判断反比例函数与一次函数交点个数
8. 在平面直角坐标系
中，直线
与双直线
的一个交点为
，另一个交点为
．
6
（1 ）
1
2
（2 ）
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
【标注】
求
和的值．
解答：
求出直线
与双曲线
的另一个交点
的坐标．
直接写出当
时自变量的取值范围．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
，
．
．
或
．
∵
在
上，
∴
，
∴
，
把
代入
中得：
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
，
则
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
．
或
．
【知识点】反比例函数系数与图象关系
【知识点】反比例函数与一次函数综合
7
【知识点】反比例函数与方程、不等式
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
（3 ）
9.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
如图，点
是反比例函数
的图象与直线
的交点，且
点纵坐标为．
求的值．
求反比例函数的图象与直线
的另一个交点坐标．
直接写出取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
另一点的坐标为
．
或
．
把
代入
，得
．
∴点
的坐标为
，
把点
代入
，得
，
∴该反比例函数的解析式为
．
由题意得：
，
解得
或
，
∴另一点的坐标为
．
当
或
时，反比例函数的值大于一次函数的值．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
10. 已知函数
，
，、为整数且
．
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
讨论，的取值．
分别画出两种函数的所有图象．（不需列表）
求
与
的交点个数．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
或
，
或
，
或
，
．
作图见解析．
个．
∵、为整数且
，
∴
，
；
，
；
，
；
，
．
如图所示：
当
时，
与
的交点个数为个；
当
时，
与
的交点个数为个．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
9
A.
B.
C.
D.
11.
【解析】
【标注】
反比例函数
的图象与直线
有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则的
取值范围是（ ）．
【答案】B
将
代入到反比例函数
中，
得：
，
整理，得
．
∵反比例函数
的图象与直线
有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，
∴
，
解得
．
故选．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
12.
【解析】
【标注】
若双曲线
与直线
只有一个交点，则
．
【答案】
∵双曲线
与直线
只有一个交点，
令
，
整理得
，
，
，
．
【知识点】判断反比例函数与一次函数交点个数
