文档文本内容
1
反比例函数与实际问题【题集A】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
某汽车的功率
为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力
（牛）之间的函数关系
如图所示：
（米秒）
（牛）
这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式．
当它所受牵引力为
牛时，汽车的速度为多少千米/时？
如果限定汽车的速度不超过
米/秒，则
在什么范围内？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
汽车的速度为
千米/时．
应大于等于
牛．
由
得：
．
当
时，
（米/秒）
（千米/时），
所以，当它所受牵引力为
牛时，汽车的速度为
千米/时．
当
米/秒时，即
，则
（牛）．
所以如果限定汽车的速度不超过
米/秒，则
应大于等于
牛．
【知识点】反比例函数的实际应用
2. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流（
）是电阻
（）的反比例函数，其图象如图所
示．
2
（1 ）
（2 ）
（1 ）
方法一：
方法二：
（2 ）
【解析】
【标注】
求这个反比例函数的表达式．
当
时，电流能是
吗？为什么？
【答案】（1 ）
（2 ）
．
不可能．
∵电流（
）是电阻
（）的反比例函数
∴设
（
），
把
代入得：
，
∴
．
当
时，
，
∴电流不可能是
．
∵
，
∴当
时，电流不可能是
．
【知识点】反比例函数的实际应用
（1 ）
（2 ）
3. 实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，
小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间
（时）成正比例；
小时后（包括
小时）与成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问
题：
（毫克百毫升）
时
求一般成人喝半斤低度白酒后，与之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围．
3
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
依据人的生理数据显示，当
时，肝部正被严重损伤，请问喝半斤低度白酒后，肝部被
严重损伤持续多少小时？（结果保留整数）
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
由题意，得：
①当
时，
设函数关系式为：
，
则
，解得
，
故
；
②当
时，
设函数关系式为：
，
则
，
解得
，
故
．
综上所述：
．
当
时，
，
解得
（或
）；
当
时，
，
解得
（或
）；
由图象可知，肝部被严重损伤持续时间
．
【知识点】反比例函数的实际应用
4. 某化工车间发生有害气体泄漏，从泄漏开始到完全控制利用了
，之后将对泄漏的有害气体进
行处理，线段
表示气体泄漏时车间内检测表显示数据与时间
之间的函数关系
，反比例函数
对应曲线
表示气体泄漏控制后检测表显示数据与时间
之间的函数关系
．根据图象解答下列问题：
4
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
试求出检测表在气体泄漏之初显示的数据（即点
的纵坐标）．
求反比例函数
的表达式，并确定车间内检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
，
．
在
段时，为一次函数图像，设
，
将
，
代入上式得
，
∴
，
∴
的纵坐标为
．
令
，解得
，
在
段，为反比例函数图像，设
，
将
，代入解得
，
∴
，
令
，解得
，
∴检测表恢复到气体泄漏之初时对方的为
．
【知识点】反比例函数的实际应用
（1 ）
（2 ）
5. 去学校食堂就餐，经常会在一个买菜窗口前等待．经调查发现，同学的舒适度指数与等待时间
（分）之间存在如下的关系：
，求：
若等待时间
分钟时，求舒适度的值；
舒适度指数不低于
时，同学才会感到舒适．函数
的图像如图（
），请根据
图像说明，作为食堂的管理员，应该让每个在窗口买菜的同学最多等待多少时间？
5
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
．
分钟．
当
时，舒适度
．
舒适度指数不低于
时，由图象得
时，
，
所以作为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学最多等待
分钟．
【知识点】反比例函数的实际应用
（1 ）
1
2
（2 ）
6. 某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度
下加热水箱中的水；当水温达到
设定温度
时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到
时，再次自动加热水
箱中的水至
时，加热停止；当水箱中的水温下降到
时，再次自动加热，…，按照以上方式
不断循环．小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，
发现水温是时间的函数，其中（单位：
）表示水箱中的温度，（单位：
）表示接通电源
后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整：
下表记录了
内个时间点的温控水箱中水箱的温度随时间的变化情况：
接通电源后的时间（单
位：
）
…
水箱中水的温度（单
位：
）
…
的值为 ．
完成下列各题．
当
时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；当
时，写
出一个符合表中数据的函数解析式 ．
如图，在平面直角坐标系
中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，
画出当
时，温度随时间变化的函数图象．
6
（3 ）
（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
x
2
4
6
8 10 12 14 16 1
y
–20
20
40
60
80
100
O
如果水温随时间的变化规律不变，预测水温第次达到
时，距离接通电源
．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
;
画图见解析．
略．
略．
函数图象如图：
x
2
4
6
8 10 12 14 16 1
y
–20
20
40
60
80
100
O
略．
【知识点】函数图象与实际问题
7. 实验数据显示，一般成年人喝半斤低度白酒后，
小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时
间（时）的关系可近似地用二次函数
刻画；
小时后（包括
小时）与可
近似地用反比例函数
刻画，如图所示．
7
1
2
（1 ）
（2 ）
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
毫克
百毫升
小时
根据上述数学模型计算：
喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值最大值为多少？
根据图象求的值．
按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于
毫克/百毫升时属于“酒后驾
驶”，不能驾车上路，参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上
在家喝完半斤低度白
酒，那么他第二天早上
能否驾车去上班？请说明理由．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
毫克/百毫升．
．
不能驾车上班，证明见解析．
，
∴喝酒后小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为
毫克/百毫升．
由图知当
时，
，
又
在双曲线
上，
∴
．
不能驾车上班．
∵晚上
到第二天早上
，一共有
个小时，
将
代人
得，
，
又
，
∴第二天早上
不能驾车去上班．
【知识点】反比例函数的实际应用
8. 家用电灭蚊器的发热部分使用了
发热材料，它的电阻
随温度
（在一定范围内）变
化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温
上升到
的过程中，电阻
与温
度成反比例关系，且在温度达到
时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每
上升
，电阻增加
．
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
求当
时，
和之间的关系式．
求温度在
时电阻
的值；并求出
时，
和之间的关系式．
家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过
？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
当
时，设函数关系式为
（
），
已知当
时
，
∴
，
∴当
时，函数关系式为
．
令
，则
，
当
时，
．
电阻不超过
即
，
当
时，
，
解得
，
当
时，
，
综上，
时，电阻不超过
．
【知识点】反比例函数的实际应用
9. 制作一种产品，需先将材料加热达到
后，再进行操作．设该材料温度为（
），从加热开始
计算的时间为（分钟）．据了解，该材料加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热进行操
作时，温度与时间成反比例关系（如图）．已知该材料在加热前的温度为
，加热分钟后温
度达到
．
9
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
分钟
分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，与的函数关系式．
根据工艺要求，制作过程中还需要添加一种添加剂，该添加剂只有在材料的温度不低于
时才有效，那么从开始加热到停止操作，该添加剂的有效时间是多长？
【答案】（1 ）
（2 ）
加热时：
，
停热时：
．
可操作时间为
分钟．
①设加热时
，
由题得
，解得
，
∴加热时：
，
②设停热时
，
由题得
，解得
，
∴停热时：
．
由题得，材料需先加热到
后才可操作，即
，
∴材料温度不低于
，即
，
∴
，
∴
，
∵
分钟，
∴可操作时间为
分钟．
【知识点】反比例函数的实际应用
10. 环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超
过最高允许的
，环保局要求该企业立即整改，在
天以内（含
天）排污达标，整改过程
10
（天）
（
）
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
中，所排污水中硫化物的浓度（
）与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段
表示前
天的变化规律，从第天起，所排污水中硫化物的浓度与时间成反比例关系．
求整改过程中硫化物的浓度与时间的函数表达式（要求标注自变量的取值范围）．
该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在
天以内（含
天）排污达标？为什么．
【答案】（1 ）
（2 ）
当
时，
；当
时，
．
能，理由见解析．
分情况讨论：
①当
时，
设线段
对应的函数表达式为
；
把
，
代入得：
，
解得：
，
∴
；
②当
时，设
，
把
代入得：
，
∴
；
综上所述：当
时，
；当
时，
．
能；理由如下：
令
，则
，
，
故能在
天以内不超过最高允许的
．
【知识点】反比例函数的实际应用
11. 码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天装载速度（吨/元）与装完货物所需时间（天）
之间是反比例函数关系，其图象如图所示．
11
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
求这个反比例函数的表达式．
由于紧急情况，要求船上的货物不超过天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨．
若码头原有工人
名，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了天时间，在（）
的条件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
与之间的函数表达式为
．
平均每天至少要卸
吨货物．
码头至少需要再增加名工人才能按时完成任务．
设与之间的函数表达式为
，
根据题意得：
，
解得
，
∴与之间的函数表达式为
．
∵
，
∴
，
解得：
，
答：平均每天至少要卸
吨货物．
∵每人一天可卸货：
（吨），
∴
（人），
（人）．
答：码头至少需要再增加名工人才能按时完成任务．
【知识点】反比例函数的实际应用
12. 在一次数学实践活动中， 观测小组对某品牌节能饮水机进行了观察和记录， 当观察到第分钟时，
水温为
，记录的相关数据如下表所示：
第一次加热、 降温过程
（分
钟）
12
（分钟）
（
）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
（饮 水机功能说明： 水温加热到
时饮水机停止加热， 水温开始下降， 当降到
时饮水机
又自动开始加热）
请根据上述信息解决下列问题：
根据表中数据在如图给出的坐标系中， 描出相应的点．
选择适当的函数， 分别求出第一次加热过程和第一次降温过程关于的函数关系式， 并写出
相应自变量的取值范围．
已知沏茶的最佳水温是
，若
开启饮水机（初始水温
）到当晚
，沏茶的最佳水温时间共有多少分钟？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
．
沏茶的最佳水温时间共
分钟．
如图所示．
（分钟）
（
）
观察图象可知第一次加热过程的函数关系是一次函数， 设解析式为
，则有
，
解得
，
第一次加热过程的函数关系是
．
13
（3 ）
【标注】
由图象可知第一次降温过程的函数关系是反比例函数， 设
，把
代入得到
，
第一次降温过程的函数关系是
．
由题意可知， 第二次加热观察时间为 30 分钟， 结束加热是第 130 分钟，
而
至
共 130 分钟，
饮水机加热一次， 降温一次， 再加热了一次的过程，
把
代入
，
得到
，
把
代入
，
得到
，
一次加热过程出现的最佳水温时间为：
分钟，
把
代入
，
得到
，
把
代入
，
得到
，
一次降温出现的最佳水温时间为：
（分钟） ，
开启饮水机 （初 始水温
）到当晚
，沏茶的最佳水温时间共
（分钟） ．
【知识点】反比例函数的实际应用
13. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球体积
（
）的反比例函数，其图象如下图所示（千帕是一种压强单位）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当气球的体积为
时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于
千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少？
14
【解析】
【标注】
【答案】（1）
；
（2）
；
（3）
（1）依题意，温度
，∴
；
（2）当
时，
；
（3）当
时，
故为了安全起见，气球的体积应不小于
（
）．
【知识点】反比例函数的实际应用
（1 ）
（2 ）
14.
（1 ）
【解析】
合肥三十八中为预防秋季疾病传播，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内
空气中每立方米含药量（毫克）与燃烧时间（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段
和双曲
线在
点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：
写出从药物释放开始，与之间的函数关系式及自变量的取值范围．
据测定，只有当空气中每立方米的含药量不低于毫克时，对预防才有作用，且持续
分钟以
上，才能完全杀死这种病毒，请问这次消毒是否彻底？
【答案】（1 ）
（2 ）
．
这次消毒很彻底．
设反比例函数解析式为
，
15
（2 ）
【标注】
将
代入解析式得，
，
则函数解析式为
，
将
代入解析式得，
，
解得
，
故
，
设正比例函数解析式为
，
将
代入上式即可求出的值，
，
则正比例函数解析式为
．
综上：
．
将
代入
，
得
，
将
代入
得到
，
，
∴这次消毒很彻底．
【知识点】反比例函数的实际应用
（1 ）
（2 ）
15. 如图，科技小组准备用材料围建一个面积为
的矩形科技园
，其中一边
靠墙，墙长
为
，设
的长为
，
的长为
．
墙
求与之间的函数关系式．
若围成矩形科技园
的三边材料总长不超过
，材料
和
的长都是整米数，求
出满足条件的所有围建方案．
【答案】（1 ）
（2 ）
与之间的函数关系式为
．
满足条件的所有围建方案：
，
或
，
或
，
．
16
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
根据题意，得
，即
．
∴与之间的函数关系式为
．
由
，且，都为正整数，
∴可取，，，，，，
，
，
，
，
，
，
但∵
，
．
∴符合条件的有：
时，
；
时，
；
时，
．
答：满足条件的所有围建方案：
，
或
，
或
，
．
【知识点】反比例函数的实际应用
（1 ）
（2 ）
16.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
一出租车油箱的容积为
升，某司机将该车油箱加满油后，将客人送达
外的某地后立即返
回．设出租车可行驶的总路程为（单位：
），行驶过程中平均耗油量为．（单位：升
）
写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
若该车以每千米耗油
升行驶送达客人至目的地，返程时由于堵车，油耗平均增加了
，
该车返回出发地是否需要加油？若需要，试求出至少需加多少油，若不需要，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（
）．
需要加油
．
由题意可得：
与的函数关系式为：
（
）．
需要加油．理由如下：
该车送达客人至目的地后剩下油量为：
，
设返回过程中出租车行驶的路程为（单位：
），
油箱中的油量为
（单位：
），
由题意得：
．
由
，
得：
．即该车剩下油量在返程中只能行驶
．
则该车返程中至少需要加能行驶
的油量：
．
答：该车返回出发地至少还需要加油
．
【知识点】反比例函数的实际应用
17
17.
【解析】
【标注】
某火力发电站的燃烧塔的轴截面如图所示，
是一个矩形，
、
分别是两个反比例函数
图象的一部分，已知
，
，上口宽
，求整个燃烧塔的高．
【答案】
.
如图，以
所在直线为轴，线段
的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．
，
，则
点的坐标是
．
设
所在双曲线的解析式是
，
把
的坐标代入得
，
所以
，
当
时，
．
答：整个燃烧塔的高是
．
【知识点】反比例函数的实际应用
（1 ）
（2 ）
18. 一列货车从北京开往乌鲁木齐，以
/ 的平均速度行驶需要
，为了实施西部大开发，京乌
线决定全面提速．
如果提速后平均速度为
/ ，全程运营时间为小时，试写出与之间的关系式．
如果提速后平均速度为
/ ，求提速后全程运营时间．
18
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
如果全程运营时间控制值
内，那么提速后，平均速度至少应为多少．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
运营时间约为
.
/ ．
∵路程
平均速度
行驶时间
∴
，
∵提速后路程没有变化，
∴
．
令
，
∴
，
∴
．
令
，
∴
，
∴
/ ．
【知识点】反比例函数的实际应用
