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1
双曲线与直线：几何最值【题集】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，菱形
的顶点
与原点
重合，点
在轴的正半轴上，点
在反
比例函数
的图象上，点
的坐标为
．
求反比例函数的关系式．
若将菱形
沿轴正方向平移，当菱形的顶点
落在函数
的图象上
时，求菱形
沿轴正方向平移的距离．
在轴上是否存在一点
使
有最大值，若存在，请求出点
坐标，若不存在，请说
明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
存在，
.
过点
作轴的垂线，垂足为
，
∵点
的坐标为
，
∴
,
,
∴
，
∴
，
∴点
坐标为
，
∴
，
∴
，
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
．
将菱形
沿轴正方向平移，使得点
落在函数
的图象
点处，过
点
作轴的垂线，垂足为
﹒
∵
，
∴
，
∴点
在
的图像上，
∴
，
解得：
，
即
，
∴
，
∴菱形
平行的距离为
．
存在，当点
在直线
上时
有最大值．
设直线
的表达式：
将点
的坐标
，点
的坐标
代入得：
解得
，
∴直线
关系式为：
，
当
时解得
.
∴
点坐标
．
【知识点】反比例函数与最值问题
3
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
（
）的图象与边长是的正方形
的两边
，
分别相交于
，
两点，
的面积为
．若动点
在轴上，则
的最小
值是（ ）．
【答案】C
由图可得，反比例函数
在第一象限，
∴
，
∵正方形
的边长是，
∴点
的横坐标和点
的纵坐标为，
∴
，
，
∴
，
，
∵
的面积为
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
作
关于轴的对称点
，连接
交轴于
，则
的长
的最小值，
∵
，
4
∴
，
，
∴
．
故选．
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，已知直线
与双曲线
交于
，
两点（
与
不重
合），直线
与轴交于
，与轴交于点
．已知
，
两点的坐标分别为
，
．
求点
的坐标以及三角形
的面积．
在轴上找到一点
，使
的值最小，求出符合条件的点
的坐标及
的最
小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
把
代入
中，得到
，
当
时，
，
∴
，
将
、
代入解析式
，则有
，
解得
，
∴直线
的解析式为
，
令
，得到
，
∴
．
∴
．
5
（2 ）
【标注】
作点
关于轴的对称点
，连接
交轴于
，连接
，此时
的值最小
设直线
的解析式为
，则有
解得
，
∴
，令
得到，
，
∴
的最小值
．
【知识点】反比例函数与最值问题
（1 ）
（2 ）
4. 如图，直线
与轴交于
点，与反比例函数
（
）的图象交于点
，过
作
轴于点
，且
．
求的值．
6
（1 ）
（2 ）
【解析】
设点
是反比例函数
（
）图象上的点，在轴上是否存在点
，使得
最小？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
由
可得
，即
，
∵
，
∴
，
∵
轴，
∴点
的横坐标为，
∵点
在直线
上，
∴点
的纵坐标为，即
，
∵点
在
上，
∴
．
故答案为：．
∵点
在反比例函数
的图象上，
∴
，即点
的坐标为
，
过
作
关于轴的对称点
，连接
，交轴于
（如图），
此时
最小，
∵
与
关于轴的对称，
点坐标为
，
∴
的坐标为
，
设直线
的解析式为
，
把
，
的坐标得
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
令
，得
，
7
【标注】
∴
点坐标为
．
故答案为：
．
【知识点】反比例函数与最值问题
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，直线
与双曲线
相交于
，
两点．
求点
的坐标．
在轴上是否存在点
，使
的值最小，若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
点
的坐标为
．
存在点
，使
的值最小．
把点
的坐标代入直线
，可得
，
解得
，
∴
，
把
代入双曲线
，可得
，
∴
，
∴
，
联立两函数解析式，得
，
解得
，
，
∴点
的坐标为
．
作出点
关于轴对称点
，连接
交轴于点
，则此时
的值最小，
设直线
的解析式为
，
把
，
的坐标代入，得
，
解得
，
8
【标注】
∴直线
的解析式为
，
令
，则
，
∴点
的坐标为
，
故存在点
，使
的值最小．
【知识点】反比例函数与最值问题
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，直线
与轴交于
点，与反比例函数
的图象交于点
，过点
作
轴于点
，且
点的坐标为
．
求反比例函数的解析式．
点
是反比例函数
图象上的点，在轴上是否存在点
，使得
最小？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
存在，点
的坐标为
．
∵
轴于点
，且
点的坐标为
，
∴在直线
中，当
时，
，
∴点
的坐标为
．
又∵点
在反比例函数
上，
∴
，
∴反比例函数的解析式为
．
将点
代入
，得
，
∴点
坐标为
．
设点
关于轴的对称点为
，
9
【标注】
过点
、点
的直线解析式为
，
代入，可得
，解得
，
∴直线
的解析式为：
，
根据题意知，直线
与轴的交点即为所求点
，
当
时，得
，解得：
，
故点
的坐标为
．
【知识点】反比例函数与最值问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7.
（1 ）
【解析】
如图，矩形
的顶点
、
分别在轴、轴上，
，直线
的解析式为
，双曲线
经过点
，与
边相交于点
．
填空：
．
连接
、
，试求
的面积．
在轴上是否存在点
，使得
的周长最小？若存在，求出点
坐标及此时
周长
的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
点坐标为：
，此时
周长的最小值为：
．
如图所示：过点
作
轴于点
，
∵直线
的解析式为
，
∴当
时，
，则
，
点坐标为：
，
当
时，
，则
，
点坐标为：
，
∵
，
，
10
（2 ）
（3 ）
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得：
，
，
∴
，
则
，
故答案为：
．
由（）得：
，
，则
，
∵
，
∴
，
∴
．
如图所示：过点
作
轴于点
，作
点关于轴对称点
，连接
，交轴于点
，连接
，
∵
，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
点坐标为：
，
∵
，
∴
，
∴
，
设直线
的解析式为：
，
则
，
解得：
，
故抛物线解析式为：
，
当
则
，
故
点坐标为：
，
矩形
11
【标注】
故此时
周长的最小值为：
．
【知识点】反比例函数与最值问题
