双曲线与直线：几何不变性及常见图形题集B(教师版)_《初中数学四维三难教材同步刷题集(2025人教版)》_第26章反比例函数_3.专题突破

1
双曲线与直线：几何不变性及常见图形【题集B】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，直角三角板
放在平面直角坐标系中，直角边
垂直轴，垂足为
，已知
，点
、
、
均在反比例函数
的图象上，分别作
轴于
，
轴
于
，延长
、
交于点
，且点
为
的中点．
求点
的坐标．
求四边形
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵
，
∴
，
∴
．
设点
的坐标为
，
则
，
解得
或
（舍去），
∴点
的坐标为
，
∴点
的坐标为
，
∴点
的坐标为
．
∵点
的坐标为
，
∴
，
∴
．
∵点
为
的中点，
2
【标注】
∴
．
设点
的坐标是
，则
．
∵点
在反比例函数
的图象上，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵点
在反比例函数
的图象上，
∴
，
∴
．
【知识点】反比例函数与三角形综合
矩形
四边形
矩形
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，矩形
的顶点
、
分别在、轴的正半轴上，点
为
边上的点，
，反比
例函数
在第一象限内的图象经过点
和
边上的点
．
求
、的值和反比例函数的表达式．
将矩形
的一角折叠，使点
与点
重合，折痕分别与轴，轴正半轴交于点
，
，
求线段
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
，
．
．
∵
，
．
∴
，
∴
，
∴
，解得
，
3
（2 ）
【标注】
∴
，
∴
，
∴反比例函数的表达式为
．
，则
，
，
在
中，
，
解得
，
过
点作
于
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
．
【知识点】根据条件求反比例函数解析式（或k的值）
3.
【解析】
如图，点
、
是双曲线
上的点，分别经过
、
两点向轴、轴作垂线段，若
，
则
            ．
O
A
B
【答案】
∵
，
，
∴
，
∴
．
阴影
阴影
阴影
阴影
4
【标注】【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
4.
【解析】
【标注】
如图所示，反比例函数
的图象经过矩形
的对角线
的中点
，分别与
，
交于点
、
，若
，
，则的值为            ．
【答案】
设
，
∴
，
过点
作
于点
，连接
，
由矩形的性质可知：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
5. 如图，直线和双曲线
(
)交于
、
两点，
是线段
上的点(不与
、
重合)，过点
、
、
分别向轴作垂线，垂足分别为
、
、
，连接
、
、
，设
的面积为
、
的面积为
、
的面积为
，则（   ）．
5
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】D
结合题意可得：
、
都在双曲线上，
则有
；
而
之间，直线在双曲线上方；
故
．
故选：
．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
6.
【解析】
如图，正比例函数
的图象与反比例函数
的图象交于
、
两点，过点
作
垂直轴
于点
，连结
．若
的面积为．则的值为            .
【答案】
∵反比例函数与正比例函数的图象相交于
、
两点，
∴
、
两点关于原点对称，
∴
，
∴
的面积=
的面积
,
又∵
是反比例函数
图象上的点，且
轴于点
∴
的面积
，
∴
∵
6
【标注】
∴
.
故这个反比例函数的解析式为
.
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
7.
【解析】
【标注】
如图，四边形
中，
，边
在轴的正半轴上，
在轴的正半轴上，点
在第一
象限内，点
为
的中点，
与
相交于点
，若
、
的面积分别为和，反比
例函数
的图象经过点
，则
            ．
【答案】
连接
．∵
,∴
，
∵
，∴
，
又
是
的中点，
∴
，
∴
，
故答案为
．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
A.
B.
C.
D.
8. 如图所示，反比例函数
的图象经过矩形
的对角线
的中点
．若矩形
的面积为，则的值为（   ）．
7
【解析】
【标注】
【答案】A
如图，过
作
于
，
设
，
∴
，
，
∵点
是矩形
的对角线
的中点，
∴
，
，
∵矩形
的面积为，
∴
，
∴
，
故选：
．
【知识点】反比例函数系数与图象关系
9.
【解析】
如图，在平面直角坐标系
中，函数
（
，
）的图象经过菱形
的顶点
和
边
的中点
，若菱形
的边长为，则的值为            ．
【答案】
过
作
轴于
，过
作
轴于
，过
作
轴于
，
设
点的坐标为
，则
点的坐标为
，
∵
为
的中点，
8
【标注】
∴
，
，
点的坐标为
，
把
、
的坐标代入
得：
，
解得：
，
在
中，由勾股定理得：
，
即
，
解得：
（负数舍去），
∴
．
【知识点】反比例函数与四边形综合
10.
【解析】
如图所示，
为双曲线
上的一点，过点
作轴、轴的垂线，分别交直线
于
、
两点，若直线
与轴交于点
，与轴相交于点
，则
的值为            ．
【答案】
作
轴于
，
轴于
，如图，
对于
，
9
【标注】
令
，得到
；令
，得到
，
∴
，
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
与
都是等腰直角三角形，
设
，则
，
，
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义