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1
双曲线与直线：几何存在性【题集B】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，四边形
为矩形，以点
为原点建立平面直角坐标系，点
在轴的正半轴上，点
在
轴的正半轴上，已知点
的坐标为
，反比例函数
的图象经过
的中点
，且与
交
于点
．
求
的值和点
的坐标．
求直线
的解析式．
点
为轴上一点，点
为反比例函数
的图象上一点，是否存在点
、
，使得以
、
、
、
为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请求出点
的坐标；如果不存在，请说
明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
的坐标为
．
．
存在，
或
．
∵四边形
为矩形，点
的坐标为
，
∴
，
，
∵
是
的中点，
∴
，
∵反比例函数
的图象经过
的中点
，
∴
，
，
∴反比例函数的解析式为
，
令
，则
，
∴
的坐标为
．
设直线
的解析式为
，
∵
，
，
2
（3 ）
【标注】
∴
，解得
，
∴直线
的解析式为
．
存在．
∵
，
，以
、
、
、
为顶点的四边形为平行四边形．
当
是平行四边形的边时，则
，且
，
∵
的纵坐标为，
∴
的纵坐标为
，
令
，则
，解得
，
令
，则
，解得
，
∵
，
∴
点的坐标为
；
当
是平行四边形的对角线时，
∵
，
，
∴
的中点为
，
设
、
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
故使得以
、
、
、
为顶点的四边形为平行四边形的
点的坐标为
或
．
【知识点】反比例函数与四边形综合
2. 如图，正比例函数
的图象与反比例函数
的图象交于
、
两点，过点
作
垂直轴
于点
，连接
．若
的面积为．
3
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求的值．
轴上是否存在一点
，使
为直角三角形？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
轴上存在一点
，使
为直角三角形，
点
的坐标为
、
、
、
．
∵反比例函数与正比例函数的图象相交于
、
两点，
∴
、
两点关于原点对称，
∴
，
∴
，
又∵
是反比例函数
图象上的点，且
轴于点
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
轴上存在一点
，使
为直角三角形，
将
与
联立方程组得：
，
解得：
，
，
∴
，
，
①当
时，如图，
4
图
设直线
的解析式为
，
将
代入上式得：
，
∴直线
的解析式为
，
令
，得：
，
∴
．
②当
时，如图，
图
设直线
的解析式为
，
将
代入上式得：
，
∴直线
的解析式为
，
令
得：
，
∴
．
③当
时，如图，
5
【标注】
图
∵
为线段
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
，
由勾股定理得：
，
∴
，∴
．
根据对称性，当
为直角顶点，且
在轴负半轴时
也是直角三角形，可得
．
故轴上存在一点
，使
为直角三角形，点
的坐标为
或
或
或
．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
（1 ）
（2 ）
3. 如图，一次函数
的图象经过
，
两点，与反比例函数
的图象在第
一象限内的交点为
，若
的面积为．
求一次函数和反比例函数的表达式．
在轴上是否存在点
，使
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1 ）
．
6
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
．
∵直线
过
，
两点
∴
，
∴
∴一次函数的表达式为
．
∴设
，作
轴于点
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴将
代入
得
，
∴
，
∵
在双曲线
上，
∴
，
∴
，
∴反比例函数的表达式为
．
过点
作
交轴于点
，
∵
，
∴
∴
，
∴在
中，
，
∴
，
∴
，
∴在轴上存在点
，使
，此时点
的坐标为
．
【知识点】反比例函数与三角形综合
7
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知矩形
中，
，
，双曲线
与矩形两边
、
分别交
于
、
，且
．
求的值和点
的坐标．
点
是线段
上的一个动点，是否存在点
，使
，若存在，求出此时点
的坐
标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
或
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∵点
在双曲线
上，
∴
，
∵四边形
为矩形，
∴
，
∴
，
∴点
的横坐标为，
把
代入
中，得
，
∴
．
假设存在要求的点
坐标为
，
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
8
【标注】
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，解得
或
，
∴存在要求的点
，坐标为
或
．
【知识点】反比例函数与三角形的相似
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
【解析】
如图，在直角坐标系
中，一直线
经过点
与轴正半轴交于
点，在轴正半
轴上有一点
，且
，过
点作
轴交直线
于
点，反比例函数
经过点
．
x
y
O
求这条直线和反比例函数的解析式．
反比例函数图象上是否存在点
，使四边形
为菱形？如果存在，求出
的点坐标；如
果不存在，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
反比例函数解析式为
．
反比例函数图象上存在点
，使四边形
为菱形，此时点
．
∵直线
经过
，
∴
，
∴
，
∴直线的解析式为
，
∵
，
∴
，
把
代入
，
∴
，
∵反比例函数
经过点
，
9
（2 ）
【标注】
∴
，
∴反比例函数解析式为
．
当四边形
是菱形时，
∵
，
，
∴
轴，
∴点
和点
关于
对称，
∴点
的坐标为
，
∴
，
∴点
在反比例函数图象上，
∴反比例函数图象上存在点
，使四边形
为菱形，此时点
．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
【解析】
如图，反比例函数
和一次函数
，其中一次函数的图象经过
，
两点且点
在第一象限，是两个函数的一个交点．
求反比例函数的解析式？
在轴上是否存在点
，使
为等腰三角形？存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明
理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
点
坐标为
或
或
或
．
∵一次函数
经过
，
两点，
∴
，
解得
，
10
（2 ）
【标注】
∴反比例函数解析式为
．
故答案为：
．
存在．
由
解得
或
，
∴点
坐标
．
∴
，
①当点
为等腰三角形
的顶点时，点
坐标为
或
．
②当点
为等腰三角形
的顶点时，点
坐标为
．
③当点
为等腰三角形
的顶点时，点
坐标为
．
∴
为等腰三角形，点
坐标为
或
和
或
．
故答案为：点
坐标为
或
或
或
．
【知识点】反比例函数与三角形综合
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
【解析】
如图，直线
与轴交于点
，轴交于
点，与反比例函数
（
）的图象交于点
，过
作
轴于点
，且
．
求的值．
在轴上是否存在点
，使得点
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出
点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
存在，点
的坐标为：
或
．
∵直线
与轴交于点
，轴交于
点，
∴
，
，
∴
，
，
∵
．
∴
，
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（2 ）
【标注】
∵
轴，
轴，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵点
在反比例函数
（
）的图象上，
∴
．
如图，
设点
，
∴
，
∵点
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形，且
轴，
∴
，
∴
，
∴
或
，
∴
的坐标为
或
．
【知识点】反比例函数与四边形综合
（1 ）
（2 ）
8. 如图，直线
与双曲线
（
）相交于
和
两点，与
轴交于点
，轴交于点
．
求
，的值．
在轴上是否存在一点
，使
与
相似？若存在求出点
的坐标，若不存在，请
说明理由．
12
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
，的值分别是
，．
这样的点
有个．即
和
．
∵
和
在双曲线）
上，
∴
，
解得
．
∴
．
∵
和
在直线
上，
∴
，
解得
，
∴
，的值分别是
，．
在轴上存在这样的点
，理由如下：
①如图，过点
作
交轴于点
，
∴
∽
，
∵
，
∴
，
②过点
作
交轴于点
，
∴
，
由（）知，
，
∴
，
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴′
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴这样的点
有个．即
和
．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
9. 如图，已知一次函数
的图象与轴交于点
，与反比例函数
的图象的一个交点为
，过点
作
的垂线
，与反比例函数
的图象交于点
．
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
【解析】
求
和
的值．
若直线
、
分别交轴于点
、
，试问在轴上是否存在一个点
，使得
若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
；
．
点坐标为
时，
．
将
代入一次函数
中，得：
，即
，
将
代入反比例解析式
得：
；
过
作
轴，过
作
轴，
∴
，
∴
，
∵
，即
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
将
坐标代入
得：
．
14
（2 ）
【标注】
符合条件的
坐标为
，理由为：
由
，求出
坐标为
，
∵
，
，
∴
，
可得
，
，
，
，
，
若
，则
，即
，
解得：
，
则
．
综上所述：
点坐标为
时，
．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
10.
（1 ）
【解析】
如图，直线
分别与轴，轴相交于
，
，与双曲线
（其中
）相交于第一
象限内的点
，作
轴于
．
求双曲线的解析式．
观察图象直接写出不等式
的解集．
在（）中所求的双曲线上是否存在点
（其中
），作
轴于
，使得
与
相似？若存在，请求出
点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（
）．
．
或
．
∵点
在直线
上，
，
，
，
，
，
15
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
，
∴点
，
∴
，
解得
，
∴双曲线的解析式为
（
）．
∵由函数图象可知，当
时，
一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式
的解集为：
．
∵
，
，
∴
，
，
∵
在双曲线
（
）上，
∴
，
①当
在
右侧时，当
时，
即
，
解得
或
（舍去），
∴
，
当
时，
，即
，
即
，
解得
或
（舍弃），
∴
．
②当
在
左侧时，同法可得，
不存在．
∴
或
．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
，
，
，
，
，
