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1
双曲线与抛物线：代几综合【题集A】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，抛物线
与双曲线
相交于点
、
，且抛物线经过坐标原点，
点
在第二象限内，且点
到两坐标轴的距离相等，点
的坐标为
．
求
的坐标及抛物线的解析式．
若点
为
、
两点间的抛物线上的一点，试求
面积的最大值，并求出此时点
的坐
标．
过点
作直线
轴，点
为直线
与抛物线的另一交点．在抛物线上是否存在点
，使
的面积等于
的面积？若存在，请求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
的最大值为
．点
的坐标为
．
．
∵点
在双曲线
上．
∴
．
∴双曲线为
．
∵点
到两坐标轴的距离相等，且点
在第二象内，
∴设
，代入双曲线解析式可得：
．
∴
．
把
、
、
代入抛物线得：
，
解得：
．
∴抛物线的解析式为
．
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
设
、
所在直线的解析式为
．
把
、
代入得：
，
解得：
．
∴直线
的解析式为
．
设
，过点
作
轴交
于点
，
则
．
∴
．
∴
．
∵
，且
，
∴当
时，
的最大值为
．
此时，
．
∴点
的坐标为
．
存在．
∵
轴，
．
∴令
，即
．
解得：
，
．
∴
．
∴
．
过点
作
交抛物线于
．
设直线
的解析式为
．
把点
代入得：
．
∴
．
∴直线
的解析式为
．
令
．
解得：
，
．（舍去）
当
时，
．
∴抛物线上存在点
，使
．
【知识点】二次函数与反比例函数综合
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
图
（3 ）
【解析】
在平面直角坐标系
中，反比例函数
的图象经过点
，
．
求反比例函数
的解析式．
若二次函数
的图象经过点
，求代数式
的值．
若反比例函数
的图象与二次函数
的图象只有一个交点，且该交点在直线
的下方，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
或
．
将
代入函数
得
．
反比例函数
的解析式是
．
二次函数
的图象经过点
，
∴
即
．
又
在反比例函数
上，
∴
，
．
设直线
与反比例函数
交点分别为
、
，
解
，得：
或
，
∴点
，点
．
①若
，如图，
当抛物线
经过点
时，
有
，
解得：
．
∵
越大，抛物线
的开口越小，
∴结合图象可得：满足条件的的范围是
．
②若
，如图，
当抛物线
经过点
时，
有
，
4
图
【标注】
解得：
．
∵
越大，抛物线
的开口越小，
∴结合图象可得：满足条件的的范围是
．
综上所述：满足条件的的范围是
或
．
【知识点】二次函数与反比例函数综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，抛物线L：
（常数
）与轴从左到右的交点为
，
，过线段
的中点
作
轴，交双曲线
于点
，且
，
求值；
当
时，求
的长，并求直线
与对称轴之间的距离；
把在直线
左侧部分的图象（含与直线
的交点）记为
，用表示图象
最高点的坐
标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
当
时，顶点
就是
的最高点．
当
时，与
的解得
就是
的最高点．
设点
，则
，由
的中点为
可知
，代入
，
得到
，即
．
∴
．
5
（2 ）
（3 ）
【标注】
当
时，令
，
，
解得
或
，
∵点
在点
左边，∴
，
．
∴
，
∵是对称轴
，且
为
，
∴
与对称轴的距离为
．
∵
，
，
∴的对称轴为
，
又∵
为
，
当
，即
时，顶点
就是
的最高点．
当
时，与
的解得
就是
的最高点．
【知识点】二次函数与反比例函数综合
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
4.
【解析】
抛物线
与轴交于
、
两点，点
在函数
的图象上，若
为直角三角形，
则满足条件的点
的个数为（ ）．
【答案】D
，令
时，
，
，则
坐标为
，
为
，
①当
时，
点横坐标为
，
把
代入
，所以此时
点有个，
②当
时，
点横坐标为，把
代入
得
，
此时
点有个，
③当
，设
，
，
，
，
∵
，
∴
，
6
【标注】
整理得：
，解得
或
，
∴此时
点有个，
综上所述，满足条件的
点有个．
【知识点】二次函数与反比例函数综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
【解析】
如图，双曲线
和抛物线
交于
、
、
三点，其中
，
，直线
交双曲线于另一点
，抛物线与轴交于另一点
．
图
求双曲线和抛物线的解析式．
抛物线在第一象限部分是否存在点
，使得
？若存在，请求出满足条
件的点
的坐标；若不存在，请说明理由．
如图过
作直线
，过点
作
于点
，
与
交于点
，求
的值．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
∵抛物线
过
，
，
7
x
–2
2
4
y
–4
–2
2
4
O
（2 ）
（3 ）
∴
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为：
，
把
代入
得：
，
解得：
，
∴双曲线的解析式为：
．
∵
，
，设直线
为
，
∴
，
解得
，
，
∴直线
为：
，
∴与坐标轴的交点
，
，
过
作
，则
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
点是抛物线上的点，设
，
∴
，
解得：
，
∴
．
∵直线
过
，
∴直线
的解析式为
，
解
，
解得
，
∴
，
∵
，
8
【标注】
∴直线
的
，
∵直线
，过点
作
于点
，
∴
，
∴直线的
，直线
的
，
∵直线过
，直线
过
，
∴直线的解析式为
，直线
解析式为
，
解
，
解得
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
【知识点】二次函数与反比例函数综合
A.
B.
C.
D.
6.
【解析】
在同一直角坐标系中，二次函数
与反比例函数
的图象如图所示，若两个函数图
象上有三个不同的点
，
，
，其中
为常数，令
，则
的值为（ ）．
【答案】D
设点
、
在二次函数
图象上，点
在反比例函数
的图象上．因为
两点纵坐标相同，则
、
关于轴对称，则
，因为点
在反比例函数图
象上，则
9
【标注】
∴
．
【知识点】二次函数与反比例函数综合
