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1
【勾股定理与将军饮马】题集【B】
【复习回顾】：
将军饮马常见模型：
【技巧点拨】：
求将军饮马的最短路程，
①先找到最短路径，
②再构造直角三角形（作垂直）——用勾股定理求长度
最小
周长最小
最小
1.
【解析】
如图，正方形
的边长为，点
在边
上，且
，点
是边
上一动点，则线段
的最小值为 ．
【答案】
2
【标注】
如图，连接
、
、
，
∵
、
是正方形
的对角线，
∴
垂直平分
，
∴
，
∴
，
根据两点之间线段最短的性质得，
，
则
的长就是所求
的最小值，
在
中，
，
，
根据勾股定理得：
，
，
即
的最小值是
．
故答案为
．
【知识点】轴对称的定义
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
如图，正方形
的边长为，
为
上的一点，
，
为
的中点，
为
上一个动
点，则
的最小值为（ ）．
【答案】C
作
关于
的对称点
，
3
【标注】
连接
，勾股定理求出
，
∴
．
【知识点】轴对称的定义
【知识点】正方形的性质
【能力】推理论证能力
3.
【解析】
如图，四边形
是正方形，
是
的中点，
，点
是
上一动点，则
的
最小值是 ．
【答案】
∵四边形
为正方形，
∴
，
，且
，
关于直线
对称，
∴连接
，
与
的交点，即为所求的点
．
∴
，
∵
，
是
中点，
∴
，
，
4
【标注】
在
中，
，
∴
．
【知识点】轴对称的性质
4.
【解析】
【标注】
如图，在正方形
中，
是
上一点，
，
，
是
上一动点，则
的最小值是 ．
【答案】
如图，连接
，交
于
，连接
，则此时
的值最小．
∵四边形
是正方形，
∴
、
关于
对称，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
故
的最小值是
．
故答案为：
．
【知识点】正方形的性质
【知识点】轴对称的定义
5. 在长方形
中，
，
，动点
满足
，则点
到
、
两
点距离之和
最小值为 ．
长方形
5
【解析】
【标注】
【答案】
如图∵
．
又∵
．
∴
．
∵
在上．
，
，
．
∴
．
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【知识点】矩形的性质
【知识点】勾股定理
【知识点】轴对称的定义
矩形
6.
【解析】
如图，正方形
的边长为，点
是
的中点，点
是边
上的动点，点
是对角线
上的
动点（包括端点
，
），则
的最小值是 ．
【答案】
作点
关于直线
的对称点
，连接
，
作
，与
交于点
，
∵点
是点
关于直线
的对称点，
∴
，
∵点
到直线
的最短距离即为垂直距离，
∴当
时
最短，即为
的最小值，
∵正方形
的边长为，
又∵
，
，且点
为
的中点，
∴
，
6
【标注】
∴
，
∴
的最小值是
．
【知识点】垂线段最短
【知识点】轴对称的性质
【能力】推理论证能力
A.
B.
C.
D.
7.
【解析】
【标注】
如图，
，
、
分别为射线
、
上的固定点，且
，
．点
、
分别为射线
、
上的两动点，当
、
运动时，线段
的最小值是（ ）．
【答案】D
作
关于
的对称点
，点
关于
的对称点
，
连接
，分别交
、
与
、
，
连接
、
，
则
，
，
，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴线段
的最小值是
．
【知识点】轴对称的定义
7
【知识点】勾股定理
8.
【解析】
【标注】
如图，正方形
的面积为
，
是等边三角形，点
在正方形
内，在对角线
上有一点
，使
最小，则
的最小值为 ．
【答案】
∵连接
，交
于
，
∵
与
关于
对称，
∴
交于
的点为
时，，
最小，
∴
，
∵正方形的面积为
，
为等边三角形，
∴
，
即最小值为
．
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】其它翻折问题
【知识点】轴对称的定义
【知识点】正方形的性质
9.
8
【解析】
【标注】
如图，在边长为
的正方形
中，点
为
边的中点，点
为对角线
上一动点，连接
、
，则
周长的最小值为
（结果不取近似值）．
【答案】
如图所示：
连结
，
，当点
，
，
三点共线时
的周长最小，即当点
在
处时，
的
周长最小．因为
为
的中点，所以在
中，
．因为四边形
是正方形，所以
垂直平
分
，所以
，所以
周长的最小值
的周长
．
【知识点】正方形的性质
【知识点】轴对称的性质
10. 如图，在边长为
的正方形
中，点
、
分别在
、
上，
，
．
9
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
在
上找一点
，使得
的值最小．（保留作图痕迹）
求出（）中
的最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
作图见解析．
如图，作点
关于
的对称点
，
连接
交
于点
，此时
的值最小．
∵
与
关于
对称，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴在
中，由勾股定理得：
．
【知识点】轴对称的性质
【知识点】直接用勾股求边长
【能力】运算能力
