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【勾股定理与全等常见模型】题集【A】
1. 手拉手
【温故知新】：
典型模型：等腰直角
、
结论：①
②
③
④
是直角三角形，
≌
，
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
如图，等腰
中，
，
是
内一点，
，
，
，
为
外一点，且
≌
，则四边形
的面积为（ ）．
【答案】C
连接
，
∵
≌
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
．
∴在
中，
2
【标注】
，
∴
，
∴
．
∵在
中，
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
，
．
【知识点】勾股定理与全等
四边形
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在直角坐标系中，点
，点
的坐标分别为
，
，
线段
的长为 ．（直接写出结果）
若点
在
上，
，且
，求
的值．
在第问的条件下过
作
交
于
，试确定线段
、
、
的数量关系，并
证明你的结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
∵
，
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形．
∴
．
∵
，
，
3
（3 ）
【标注】
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
．
如图：连接
，
∵
，
，
∴
为等腰直角三角形，
∵
，
∴
平分
，
∴
为
的垂直平分线，
∴
．
∵
≌
，
∴
，
，
∴
．
在
中，
由勾股定理得：
，
∵
，
，
∴
．
【知识点】勾股定理与全等
（1 ）
3. 如图，
中，
，
于点
，
于点
，
，
与
交
于点
，连接
．
求证：
．
4
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
若
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
∵
≌
，
∴
，
在
中，
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
4. 两块等腰直角三角形纸片
和
按图①所示放置，直角顶点重合在点
处，
．保持
纸片
不动，将纸片
绕点
逆时针旋转（
）角度，如图②所示，
5
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
在图②中，求证：
，且
．
当
与
在同一直线上（如图③）时，若
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
延长
交
于
，交
于
．
∵
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
．
∴
，
．
又∵
，
，
∴
．
∴
．
∴
．
由（）知，
是直角三角形，且
，
∴
．
即
，
解得
．
【知识点】勾股定理的综合应用
5.
中，
，点
为
外的一点，有
，
．
6
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
．
若
关于直线
的对称图形为
，连接
，试探究
、
、
三者
之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
在
的延长线上截取
，
连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
过点
作
于点
，过点
作
于点
，
与
交于点
，连接
，
由对称性可知：
，
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【标注】
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
在
中，
∵
，
∴
．
【知识点】勾股定理
（1 ）
（2 ）
6. 回答下列问题：
如图①，
，
都是等边三角形，若
，则
的长
．
如图②，
中，
，
，
，
是
外一点，且
是等边三角形，则
的长
．
【答案】（1 ）
（2 ）
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（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
∵
和
是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
．
作等边三角形
，连接
，如图所示：
则
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
由（）得：
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
