文档文本内容
1
作平行构相似 题集【B】
1.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
是
的三等分点 一平行于
的直线分别交
于
，求证：
.
【答案】证明见解析．
过
作
，交
于
，交
于
，交
于
．
.
【知识点】比例的综合应用
2. 梯形
中，
，
，
分别是
与
的中点，
交
于点
，
交
于点
，
且
，
，则
长是多少？
【答案】
．
2
【解析】
【标注】
由
，
，
，
又
，
分别为
，
的中点，则有
，
，
∴
，
则
．
∴
，
延长
交
的延长线于点
，
则有
，
∴
，∴
，
有
，
则
．
故答案为：
．
【知识点】相似模型的构造和应用
（1 ）
3. 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充
完整．
原题：如图，在平行四边形
中，点
是
的中点，点
是线段
上一点，
的延长线交
射线
于点
．若
，求
的值．
图
尝试探究
在图中，过点
作
交
于点
，则
和
的数量关系是 ，
和
的数量关系是 ，
的值是 ．
3
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
类比延伸
如图，在原题的条件下，若
（
），则
的值是 （用含有
的代数
式表示），试写出解答过程．
图
拓展迁移
如图，梯形
中，
，点
是
的延长线上的一点，
和
相交于点
．
若
，
，（
，
），则
的值是 （用含、的代数式表
示）．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
;
依题意，过点
作
交
于点
，如图所示．
图
则有
，
∴
，
4
（2 ）
（3 ）
∴
．
∵平行四边形
，
，
∴
，
又∵
为
中点，
∴
为
的中位线，
∴
．
．
故答案为：
；
；
．
如图所示，
图
作
交
于点
，则
．
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
，
∴
．
∴
．
如图所示，
图
5
【标注】
过点
作
交
的延长线于点
，则有
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
又
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【知识点】比例的综合应用
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 阅读下面的材料：
小明遇到一个问题：如图（），在平行四边形
中，点
是边
的中点，点
是线段
上
一点，
的延长线交射线
于点
．如果
，求
的值．
他的做法是：过点
作
交
于点
，则可以得到
．
和
的数量关系为 ，
和
的数量关系为 ，
的值为 ．
如图（），在原题的其他条件不变的情况下，如果
（
），那么
的值
为 ．（用含的代数式表示）．
请你参考小明的方法继续探究：如图（），在四边形
中，
，点
是
延
长线上一点，
和
相交于点
．如果
，
（
，
），那么
的值为 （用含
，的代数式表示）．
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
;
，
，
．
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
【解析】
如图，锐角
中，高
、
交于点
．
若
，求
的度数．
直接给出四条线段
、
、
、
之间的数量关系．
若
平分
交
于
，
、
交于点
，
平分
交
于
．求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
证明见解析．
∵
，
，
7
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
，
又∵
，
∴
，
∵
与
为对顶角，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
即
．
由（）知
，
又∵
平分
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
6. 我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性
质，如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．
请你利用重心的概念完成如下问题：
若
是
的重心（如图），连结
并延长交
于
，证明：
．
图
若
是
的一条中线（如图），
是
上一点，且满足
，试判断
是
的重心吗？如果是，请证明．如果不是，请说明理由．
8
（3 ）
答图
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
若
是
的重心，过
的一条直线分别与
、
相交于
、
（均不与
的顶点
重合）（如图），
，
分别表示四边形
和
的面积，探究
的最大值．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
点
是
的重心．
最大值为
．
如答图所示，连接
并延长，交
于点
．
∵点
是
的重心，∴
是中线，点
是
的中点．
∴
是中位线，
∴
，且
．
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
答：点
是
的重心．
证明：如答图，作
的中线
，与
交于点
，则点
为
的重心．
由（1）可知，
，
而
，
∴点
与点
重合（是同一个点），
四边形
四边形
9
答图
答图
（3 ）
∴点
是
的重心．
如答图所示，连接
．
设
，由（）知
，即
，
∴
，
．
为简便起见，不妨设
，
，则
．
∴
，
∴
．
设
，由
，得
，
∴
．
∴
．
∴
①
如答图，过点
作
交
于点
，过点
作
交
于点
，则
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，代入①式得：
．
四边形
四边形
四边形
10
【标注】
∴当
时，
有最大值，最大值为
．
【知识点】与中线或等分线有关的等积变换
（1 ）
（2 ）
7. 如图，在矩形
中，点
为边
中点，点
为
边中点．点
，
为
边三等分点，，
为
边三等分点．小瑞分别用不图的方式连接矩形对边上的点，如图，图所示．那么，图中四
边形
的面积与图中四边形
的面积相等吗？
四边形小瑞的探究过程如下：
在图中，小瑞发现．
．
在图中．小瑞对四边形
面积的探究如下请你将小瑞的思路填写完整：
设
，
．
∵
，∴
，且相似比为
．得到
．
∵
，∴
，且相似比为
，得到
．
又∵
，
，
∴
．
∴
，
，
．
∴
，
．（填写“
”、“
”或“
”）
小瑞又按照图的方式连接矩形
对边上的点，则
．
【答案】（1 ）
（2 ）
;
;
; ;
; ＜
四边形
四边形
四边形
四边形
四边形
四边形
四边形
四边形
四边形
四边形
四边形
四边形
四边形
11
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
，
，
，，
过点作
交
于点
，
∴
，
∴
，
设
，
∴
，且相似比为
，得到
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】中心对称等分平行四边形面积
（1 ）
（2 ）
（3 ）
8.
（1 ）
【解析】
如图，在边长为的正方形
中，点
为
边上的一个动点（与点
，
不重合），
，
交对角线
于点
，
交对角线
于点
，交
于点
．
如图，联结
，求证：
∽
，并写出
的值．
联结
，如图，若设
，
，求关于的函数解析式，并写出函数的定义
域．
当
为边
的三等分点时，求
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析，
．
（
）．
．
∵四边形
是正方形，
12
（2 ）
（3 ）
∴
，
，
又∵
，
∴
，
，
∴
，
又∵
，
∴
∽
，
∴
．
如图，作
于
，
则
，
∵
∽
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
（
）．
当
时，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，则
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
当
时，
，
∴
，
∴
，则
，
13
【标注】
，
∵
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】比例的综合应用
