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1
【弦图的构造和应用】题集【A】
1. 勾股弦图
基本模型及迁移
外弦图：
【结论】：
（右图）
【方法】遇到直线上出现两个直角的题型可以考虑构造一线三垂直模型进行证明计算．
≌
≌
内弦图：
【结论】
（左图）．
【方法】遇到直线上出现两个直角的题型可以考虑构造一线三垂直模型进行证明计算．
≌
≌
变形
在正方形
中，
．
2
【结论】利用
推出
≌
≌
≌
，从而推出
，
，四边形
为正方形．
【注意】本模型与“L”模型有区别，如果“L”模型无法解题，可以考虑构造本模型进行证明计算．
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
如图，正方形
的边长为，在各边上顺次截取
，则四边形
的面积是（ ）．
【答案】B
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∵
，
∴
．
在
、
、
和
中，
，
∴
≌
≌
≌
（
），
∴
，
，
∴四边形
是菱形，
∵
，
∴
，
∴
，
3
【标注】
∴四边形
是正方形，
∵
，
，
∴
，
∴四边形
的面积是：
，
故选．
【知识点】正方形与全等综合
2.
【解析】
【标注】
如图是“赵爽弦图”，
、
、
和
是四个全等的直角三角形，四边形
和
都是正方形，如果
，
，那么
等于 ．
【答案】
∵
，
，
∴大正方形的面积是
，小正方形的面积是，
∴四个直角三角形的面积和为
，
设
，
，即
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
解得
，
，
即
，
，
∴
．
【知识点】弦图
3. 如图，是用四个全等的直角三角形与两个小正方形镶嵌而成的正方形图案，设表示直角三角形的两
直角边
．
4
【解析】
【标注】
若大正方形面积为
，小正方形面积为，下列四个说法：①
；②
；③
；④
．其中正确的序号是 ．
【答案】①②③
①
，对的；
②
，对的；
③
，对的；
④
，
．
故①②③都是正确的．
【知识点】完全平方公式的几何背景
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
【标注】
如图，这是用面积为
的四个全等的直角三角形
，
，
和
拼成的“赵
爽弦图”，如果
，那么正方形
的边长为（ ）．
【答案】B
∵正方形
的面积
正方形
的面积
，
∴正方形
的边长
，
故选：．
【思想】数形结合思想
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
【知识点】正方形的周长与面积
5
【知识点】正方形的性质
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
如图，将一个边长为的正方形（最中间的小正方形）与四个边长为的正方形（其中
）拼接在
一起，则四边形
的面积为（ ）．
【答案】A
∵
，
，
∴
．
故选
．
【知识点】正方形的周长与面积
四边形
6. 如图，在
中，
，
，
于
，
于
，
，
，求
的长．
6
【解析】
【标注】
【答案】
．
∵
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
又∵
，
∴
．
【知识点】三垂直模型
7.
【解析】
如图，已知
中，
，
，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且
，之间的距离为，，之间的距离为，求
的长．
【答案】
．
作
于
，作
于
，
∵
，
∴
．
又
，
∴
，
在
和
中，
7
【标注】
，
∴
≌
，
∴
，
在
中，根据勾股定理，得
，
在
中，根据勾股定理，得
．
【知识点】勾股定理与全等
A.
B.
C.
D.
8.
【解析】
如图，四边形
是正方形，直线，，分别通过
、
、
三点，且
．若与之间的
距离是，与之间的距离是，则正方形
的面积是（ ）．
【答案】B
如图：过点
作
直线于点
，过点
作
直线于点
，
则
，
∵直线
直线，
直线，
∴
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
8
【标注】
，
∴
≌
，
∴
，
∵与之间的距离是，与之间的距离是，
∴
，
，
在
中，由勾股定理得：
，
即正方形
的面积为
．
【知识点】正方形与全等综合
9.
【解析】
【标注】
如图，四边形
是正方形，直线、、分别通过
、
、
三点，且
，若与的
距离为，与的距离为，则正方形
的面积为 ．
【答案】
如图，过
作
于
，
过
作
于
，
易证
≌
．
∴
．
．
【知识点】正方形与全等综合
10.
9
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
如图，
为线段
上一点，正方形
和正方形
的面积分别为
和
， 则
的面积为（ ）
．
【答案】D
因为
，
，故
．过
作
垂直
于
，易证
≌
，所以
，故
的面积为
．
【知识点】正方形的性质
11.
【解析】
如图所示，在直角梯形
中，
，
，是
的垂直平分线，交
于点
，以腰
为边作正方形
，作
于点
．
求证：
．
【答案】证明见解析．
作
于
，延长
交
于
，如图
∵是
的垂直平分线，
10
【标注】
∴
，
，
又∵四边形
是直角梯形，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∵
，
∴
，
在正方形
中，
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
，
即
．
【知识点】正方形与全等综合
12. 阅读材料并解答问题
如图①，以
的直角边
、
为边分别向外作正方形
和正方形
，连结
，可以得出结论
的面积与
的面积相等．
11
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【标注】
图
在图①中的
的直角边
上任取一点
，连结
，以
、
为边分别向外作正方
形
和正方形
，连结
，得到图②，则
的面积与
的面积的大
小关系为 ．
图
如图③，若图形总面积是，其中五个正方形的面积和是，则图中阴影部分的面积
是 ．
图
如图④，点
、
、
、
、
都在同一直线上，四边形
、
、都是正方形，若图形总面积
是
，正方形
的面积是，则图中阴影部分的面积是 ．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
相等
【知识点】正方形与全等综合
12
