文档文本内容
1
双曲线与直线：几何存在性【题集A】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知：如图，直线
与轴负半轴交于点
，与轴正半轴交于点
，线段
的长是方程
的一个根，请解答下列问题：
求点
坐标．
双曲线
（
，
）与直线
交于点
，且
，求的值．
在（）的条件下，点
在线段
上，
，直线
轴，垂足为点
，点
在直
线上，坐标平面内是否存在点
，使以
、
、
、
为顶点的四边形是矩形？若存在，请
直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
存在；
或
或
或
．
解方程
得：
，或
，
∵线段
的长是方程
的一个根，
∴
，
∴
，
代入
得：
，
∴
∴
．
在
中，
，
，
∴
，
过点
作
轴于
，如图所示：
2
（3 ）
图
则
，
∴
，
∴
，
即
，
解得：
，
，
∴
，
∴
，
∵双曲线
（
，
）经过点
，
∴
．
存在，理由如下：
分两种情况：
①当
为以
、
、
、
为顶点的矩形的一边时，过
作
轴于
，作
交直线于
，如图所示：
图
则
，
∴
，
3
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴设直线
的解析式为
，
把点
代入得：
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
当
时，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴点
的坐标为
；
当
为以
、
、
、
为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点
的坐标为
；
②当
为以
、
、
、
为顶点的矩形的对角线时，作
于
，
于
，如图
所示：
图
则
，
，
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
由角的互余关系得：
，
∴
，
∴
，
4
【标注】
∴
，
又∵
，
∴
，
，
∴
的坐标为
，
∵
，
，
∴
；
当
为以
、
、
、
为顶点的矩形的对角线时，同理得出满足条件的另一点
的坐标
为
；
综上所述：存在以
、
、
、
为顶点的四边形是矩形，点
的坐标为
或
或
或
．
【知识点】反比例函数与三角形的相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，矩形
的顶点
在反比例函数
，
的图象上，且
，
．
若动点
从
开始沿
向
以每秒个单位长度的速度运动，同时动点
从
开始沿
向
以每秒
个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为
秒．
求反比例函数的表达式．
当
时，在轴上是否存在点
，使
的周长最小？若存在，请求出
的周长
最小值；若不存在，请说明理由．
在双曲线上是否存在一点
，使以点
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
请直接写出满足条件的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
轴上存在点
，使
的周长最小，且最小值为
．
或
．
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
由题可知点
的坐标为
，且点
在
上．
∴
，
∴反比例函数的表达式为：
．
时，
，
，则
，
取
关于轴的对称点
，连接
，
，
，
∴
，
此时点
为
与轴交点，
∵
，
，设
：
，
，
解得
，
∴
，
∴此时
，
即：轴上存在点
，使
的周长最小，且最小值为
．
存在，若四边形
为平行四边形，则有三种可能，已知
，
，
．
①
，此时
在
右侧，
，
又∵
，
∴
，
，
解得
，
（舍）．
②
，此时
在
正上方，
，
∵
，
6
【标注】
∴
，
，
解得
，
（舍）．
③
，易知点
一定不在反比例函数上，
故综上：
或
．
【知识点】反比例函数与最值问题
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，一次函数
与反比例函数
的图象交于点
，
．
求这两个函数的表达式．
在轴上是否存在点
，使
为等腰三角形？若存在，求的值；若不存
在，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
反比例函数的解析式为
，一次函数的解析式为
．
或
．
把
代入
，得到
，
∴反比例函数的解析式为
．
∵
在
上，
∴
，
由题意
，解得
，
∴一次函数的解析式为
．
∵
，
，
∴
，
①当
时，
，
∴
，
∵
，
∴
不合题意舍弃．
7
【标注】
②当
时，
，
∵
，
∴
．
③当
时，
，
∵
，
∴
．
综上所述，
或
．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，直线
与反比例函数
（
）的图象交于点
，与轴交于点
．
求的值及点
的坐标．
在轴上是否存在点
，使得
为等腰三角形？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
点的坐标是
．
点坐标为
或
或
或
．
把
代入反比例函数
，得
，
把
代入
中，可得
，
故
点的坐标是
．
∵
，
，
∴
，
当
时，
∴
，
∴
，
当
时，
∴
，
∴
，
8
【标注】
当
时，
，
∴
，
当
点在
的垂直平分线上时，
，
过点
作
轴于点
，
∴
，
，则
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
综上所述，
点坐标为
或
或
或
．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5. 已知直线
与双曲线
相交于点
，与轴相交于点
，与轴相交于点
，且
．
求双曲线的解析式．
已知点
关于直线
的对称点为点
，在双曲线上是否存在一点
，使得
．若存在，请求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
点
为双曲线上一点，连接
，过点
作轴平行线与轴交于点
，当
平分
时，求点
的坐标．
9
（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
∵
，
∴
， ∴
，
将
代入
中解得
，
∴双曲线解析式为
．
连接
交
于点
，连接
．
∵
、
、
，
∴
、
，
∵
、
关于直线
对称，
∴
垂直平分
，
∴
、
，
∴
轴，
∴
．
过点
作
于点
，
∵
，
∴
，
过点
作
轴交轴、
分别于点
、
，
∵
为等腰直角三角形，
∴
≌
（一线三垂直），
设
、
，
则
，
解得
、
，
10
（3 ）
【标注】
∴
、
，
∴
．
设直线
的解析式为
，
将
、
代入解得
，
联立
解得
，
∵
，
∴
．
设
，
过点
作
轴交
于点
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
、
（舍），
∴
．
【知识点】反比例函数与三角形的全等
6. 直线
与轴交于点
，与轴交于点
，并与双曲线
交于点
．
11
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求直线与双曲线的解析式．
连接
，求
的正弦值．
若点
在轴的正半轴上，是否存在以点
、
、
构成的三角形与
相似？若存在求出
点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
存在，
的坐标是
或
．
∵直线
与轴交于点
，
∴把点
代入
得：
，
∴直线的解析式是：
．
∵直线也过
点，
∴把
点代入
得到：
，
∴
， 把将
点代入
得：
，
∴双曲线的解析式是：
．
过点
作
于点
，
∵
点经过轴，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
是等腰三角形，
∴
，
∴在
中
，
∴
，
∴在
中，
12
（3 ）
【标注】
．
存在．
过点
作
轴，垂足为点
，
则
，
，
则
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
或
，
∴
或
，
∴
或
，
∴
或
，
∵点
，
∴点
的坐标是
或
．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
7. 如图，在平面直角坐标系中，点
为坐标原点，直线
与坐标轴交于
，
两点，直线
与坐标轴交于
，
两点，线段
，
的长是方程
的两个根
．
13
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
求点
，
的坐标．
直线
与直线
交于点
，若点
是线段
的中点，反比例函数
的图象的
一个分支经过点
，求的值．
在（）的条件下，点
在直线
上，坐标平面内是否存在点
，使以点
，
，
，
为
顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点
的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
、
、
或
．
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
．
将
代入
中，
得：
，解得：
，
∴直线
的解析式为
．
∵点
为线段
的中点，
，
的横坐标为，
∴点
的横坐标为
．
∵点
为直线
上一点，
∴
．
将点
代入
中，
得：
，解得：
．
假设存在，设点
的坐标为
，
以点
，
，
，
为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：
14
【标注】
①以线段
BE为边时，∵
，
，
为线段
的中点，
∴
，
∴
．
∵四边形
为菱形，
∴
或
．
当
时，有
，
解得：
，
，
∴
或
，
∵
，
，
∴
或
；
当
时，有
，
解得：
（舍去），
，
∴
，
∵
，
，
∴
；
②以线段
为对角线时，
，
∴
，
解得：
，
∴
，
∵
，
，
∴
，即
．
综上可得：坐标平面内存在点
，使以点
，
，
，
为顶点的四边形是菱形，点
的
坐标为
、
、
或
．
【知识点】一元二次方程的几何问题
8. 如图，直线
与轴交于
点，与反比例函数
的图象交于点
，过
作
轴于点
，连接
，
．
15
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求反比例函数解析式．
在轴上是否存在点
，使以点
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直
接写出
点坐标．如果不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
或
．
由
可知
，即
．
∵
，
∴
，
∵
轴，
∴点
的横坐标为．
∵点
在直线
上，
∴点
的纵坐标为．即
．
∵点
在
上，
∴
，
∴
．
设
，
∵
，
，
，
∴当
为平行四边形的对角线时，
，解得
，
∴
．
当
为平行四边形的对角线时，
，解得
，
∴
．
综上所述，
点坐标为
或
．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
9.
16
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于点
，与轴交于
点
，与轴交于点
，
轴于点
，点
与点
关于轴对称．
求一次函数，反比例函数的解析式．
求证：点
为线段
的中点．
反比例函数图象上是否存在点
，使四边形
为菱形？如果存在，说明理由并求出点
的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
反比例函数解析式为
，一次函数解析式为
．
证明见解析．
．
∵点
与点
关于轴对称，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
轴于点
，
∴
，
把
代入反比例函数解析式可得
，
∴反比例函数解析式为
，
把
、
两点坐标代入一次函数解析式可得
，解得
，
∴一次函数解析式为
．
∵点
与点
关于轴对称，
∴
，
∵
轴于点
，
∴
，
∴
，
17
（3 ）
【标注】
∴
，即
，
∴点
为线段
的中点．
存在点
，使四边形
为菱形．
理由如下：
∵点
为线段
的中点，
∴
，
∴
和
是菱形的两条边，
由
可得
，
如图，过点
作
轴，交
于点
，交反比例函数图象于点
，分别连接
、
，
∴
，且
，
∴
，
，
∴
与
互相垂直平分，即四边形
为菱形，
∴存在满足条件的点
，其坐标为
．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
（1 ）
（2 ）
10.
（1 ）
（2 ）
【解析】
反比例函数
和一次函数
，其中一次函数图像经过( ，)，(
，
)两点．
求反比例函数的解析式．
求出两函数在第一象限内的交点
的坐标．在轴上是否存在点
，使
为等腰三角形？
若存在，把符合条件的点
的坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
(
，)，
(
，)，
( ，)，
( ，)
根据题意，得
，两式相减，得
．
所求的反比例函数的解析式是
．
点
的坐标为( ，)．由勾股定理得
，
与轴所夹的角为
．
①当
为
的腰时，由
，得
(
，)，
(
，)
由
得
( ，)．
18
【标注】
②当
为
的底时，得
( ，)．
这样的点
有个，分别是
(
，)，
(
，)，
( ，)，
( ，)．
【知识点】反比例函数与三角形综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
11.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
四边形
中，
，
，
，腰
上有一点
，
，四边形
的面积为
，建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数
的图象恰好经过
点
和点
．
求反比例函数关系式．
求出点
的坐标．
在轴上是否存在点
，使得
是等腰三角形？若存在，直接写出点
的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
反比例函数的解析式为：
．
点
的坐标为
．
证明见解析．
反比例函数的解析式为：
．
点
的坐标为
．
分
和
两种情况考虑，即可得解．
点的坐标为
或
．
【知识点】根据条件求反比例函数解析式（或k的值）
12. 如图，一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于点
，
，
轴，垂足为点
．
，
，
19
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
求函数
与
的解析式．
当为何值时，
．
在轴上是否存在点
，使
为等腰三角形？如果存在，求出
点的坐标，如果不存在，
请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
或
．
，
，
，
．
把点
代入
中，得
，
解得
，即双曲线解析式为
，
把点
代入
中，得
，
解得，
，
∴
，
∵一次函数
的图象经过
，
，
∴
，
解得
，
所以直线解析式为
．
∵一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于
，
两点，
坐标分别为
，
，
∴当
时，
或
．
如图，∵点
，
，
，
，
，
，
20
【标注】
∴
，
当以
为底边时，由
∽
，
∴
，
即：
，
解得：
，
∴点
的坐标为
，
当以
为腰以
为顶点时，
，
此时点
的坐标为
，
当以
为腰以
为顶点时，
，
此时点
的坐标为
，点
的坐标为
．
【思想】分类讨论思想
【知识点】勾股定理
【知识点】相似三角形的性质
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【知识点】反比例函数的解析式
【知识点】反比例函数与方程、不等式
【知识点】一次函数的解析式
