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圆【章节复习】压轴题-圆和动点 题集C12
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知：在边长为的正方形
中，以
为半径作扇形
，
是弧
上一动点，过
作弧
的切线分别交
，
于点
和
．
求证：
．
当
在弧上运动时，求出
的最大值，并求出此时
的长度．
若
，
分别于对角线交于
，
两点，设
，
，求出关于的函数解析
式．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
连接
，因为
、
为切线，
根据切线长定理，
，
在
和
，
≌
（
）
同理，可证
≌
所以
，
，
又∵
，
∴
．
由
≌
，
≌
可得，
2
（3 ）
，
，
∴
的周长为：
，
设
，
，
∴
．
∴
周长可得，
，
∴
．
∵
，（当
时，取等号）
∴
，（当
时，取等号）
∴
，
∴
，
∴
，
即
．（当
时取等号）．
∵
，
∴
，
∴
．
即当
时，
时，
有最大值．
此时
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
同理可得，
．
正方形
正方形
3
【标注】
∵
，
，
∴
．
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，在直角坐标系
中，点
，
，点
为轴正半轴上的一个动点，以
为
直径作圆
交轴与点
，圆
与直线
交与点
，连接
，
，过点
作
交圆
与点
，连接
．
求证：四边形
的是矩形．
设矩形
的面积为，试求关于的函数解析式，写出的取值范围，并判断是否存在
最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值．若不存在，请说明理由．
当
时，求点
移动路线的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
，
，
当
时，取最小值
．
移动的路线长为
．
∵
为直径，
∴
，
又∵
，
4
（2 ）
（3 ）
∴
，
∴四边形
为矩形．
由圆周角定理可得
，
又∵
，
∴
，
连接
，∵
为直径，
∴
，
又∵
，∴
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
则
，
，
，
当
时，取最小值
．
∵
为矩形，∴
，
∴
，
∴当
在
上移动时
始终不变，
即
在一条直线上移动，
当
时，
与
重合，此时
与
重合，
当
时，
与
重合，如图，
，
5
【标注】
∴
，
∴
，
当
时，
移动的路线长为
．
【知识点】二次函数与圆的综合问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，直线与⊙
相切于点
，
交直线于点
、交⊙
于点
，
交
直线于点
．
求证：
．
定义梯形中位线：梯形两腰中点的连线：已知梯形中位线等于上底与下底之和的一半．请利
用以上信息，求证：
．
若
，
，点
从点
出犮沿线段
向点
以
的速度运动，点
从
点
出发沿线段
向点
以
的速度运动，两点同时出发，当点
运动到点
时，两点
都停止运动．设运动时间为秒，求当为何值时，
为等腰三角形？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
当
或
或
时，
为等腰三角形．
∵
是⊙
的直径，
6
（2 ）
（3 ）
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
如图，连接
，
，
N
∵
切⊙
于点
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
是
的中点，
∴
是梯形
的中位线，
∴
，
∵
是
的直径，
∴
，
∴
，
∴
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
由题意可知：
，
，
，
7
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
当
时，如图所示：
N
则
，
∴
，
当
时，过
点作
于点
，如图所示：
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
当
时，过
点作
于点
，如图所示：
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【标注】
同理可求得：
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
综上所述，当
或
或
时，
为等腰三角形．
【知识点】圆与相似
