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1
圆【章节复习】压轴题-圆和动点 题集C11
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，⊙
的直径
，
和
是它的两条切线，
切⊙
于
，交
于
，交
于
．设
，
．
求证：
．
若
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
和
是⊙
的两条切线，
∴
，
，
∴
．
作
，
∵
，
．
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
∵
，
∴
；
∵
和
是⊙
的两条切线，
切⊙
于
，
∴
，
，
则
，
在
中，
由勾股定理得：
，
整理为：
，
2
【标注】
∴与的函数关系为：
．
又∵
，
∴
，
由这两个等式解得：
，
，
则
．
【知识点】勾股定理的综合应用
【知识点】方程思想在勾股定理的应用
【知识点】勾股定理
【知识点】矩形的性质
【知识点】矩形的判定-从四边形
【知识点】切线的性质定理
【知识点】切线长定理
【知识点】平行线判定
【思想】方程思想
（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
2. 如图，
为⊙
的直径，且
（
为常数），点
为
的中点，点
为圆上一动点，过
点
作⊙
的切线交
的延长线于点
，弦
交
于点
．
当
时，则
．
解答下列各题．
当点
在
上移动时，试探究线段
，
，
之间的数量关系；并说明理由．
设
长为，求
的面积与的函数关系式．
当
时，求
的值．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
，证明见解析．
．
3
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
（3 ）
．
如图，∵
为⊙
的直径，
图
∴
，
∵
为
的中点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点
与点
重合，
∴
为⊙
的直径，
∴
，
在等腰直角三角形
中，
，
∴
，
∴
．
如图，过点
作
于
，过点
作
于
，连接
，
，
图
由（）知
，
4
2
（3 ）
∴
，
∵
为⊙
的直径，
∴
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
即
．
在
中，
，
∵
，
且由①知
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
的面积与的函数关系式
．
如图，过点
作
于
，
于
，
则
，四边形
为正方形，
图
由（）知
，
5
【标注】
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
设
，则
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
（1 ）
（2 ）
3. 边长为
的正方形
中，
是对角线
上的一个动点（点
与
、
不重合），连接
，
将
绕点
顺时针旋转
到
，连接
，
与
交于点
，
延长线与
（或
延长
线）交于点
．
连接
，证明：
．
设
，
，试写出关于的函数关系式，并求当为何值时，
．
6
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
猜想
与
的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析.
，当
或时，
．
.
如图，∵线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，
∴
，
．
图
∵四边形
是正方形，
∴
，
．
∴
．
∴
，即
．
在
和
中，
∵
，
∴
≌
．
∴
．
如图，∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∴
，
∵
，
由勾股定理得：
，
∵
，
∴
，
∵
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
7
（3 ）
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
由
，
∴
，
，
，
或，
∴当
或时，
．
结论：
如图，当
在边
上时，过
作
，交
于
，则
，
图
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
、
、
、
四点共圆，
连接
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
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【标注】
∴
，
∴
．
【知识点】SAS；四点共圆的应用
