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【勾股定理与将军饮马】题集【A】
【复习回顾】：
将军饮马常见模型：
【技巧点拨】：
求将军饮马的最短路程，
①先找到最短路径，
②再构造直角三角形（作垂直）——用勾股定理求长度
最小
周长最小
最小
1.
【解析】
如图，圆柱形容器高为
，底面周长为
，在杯内壁离杯底
的点
处有一滴蜂蜜，此时一
只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿
与蜂蜜相对的点
处，则蚂蚁从外壁
处到达内壁
处的最短距
离为 ．
蚂蚁
蜂蜜
【答案】
如图，
将杯子侧面展开，作
关于
的对称点
，
2
【标注】
连接
，则
即为最短距离，
．
【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
已知，在河的两岸有
、
两个村庄，河宽为千米，
、
两村庄的直线距离
千米，
、
两村庄到河岸的距离分别为千米、千米，计划在河上修建一座桥
垂直于两岸，
点为靠近
村庄的河岸上一点，则
的最小值为（ ）千米．
【答案】A
如图，作
垂直于河岸，使
等于河宽，
连接
，与靠近
的河岸相交于
，作
垂直于另一条河岸，
则
且
，
于是
为平行四边形，故
．
根据“两点之间线段最短”，
最短，即
最短．
∵
千米，
千米，
∴在
中，
，
在
中，
千米，
∴
千米．
故选：
．
【知识点】轴对称的定义
3. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为
，底面周长为
，在容器内壁离容
器底部
的点
处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿
的点
处，则蚂蚁
3
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）．
【答案】A
∵高为
，底面周长为
，
在容器内壁离容器底部
的点
处有一饭粒，
，
∴
，
，
∴作
关于
的对称点
，
连接
，
则
为最短距离，
．
【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
如图，
，
，点
为轴上任意一点，则
的最小值为（ ）．
【答案】B
作点
关于轴的对称点
．连接
交轴于点
，此时
的值最小．
4
【标注】
的最小值
．
故选：．
【能力】运算能力
【知识点】轴对称的定义
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
如图所示，正方形
的边长为，
为
上的一点，
，
为
上的一点，
，
为
上一个动点，则
的最小值为（ ）．
【答案】B
作
关于直线
的对称点
，
则
，连接
，则
即为所求．
过
作
于
．
在
中，
，
，
∴
．
【知识点】动点与特殊平行四边形问题
6. 如图，
是边长为的正方形
的对角线
上的一点，点
是
的中点，则
的最小
值是（ ）．
5
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】B
连接
与
，
，
即为
的最小值，
在
中，
，
．
【知识点】动点与特殊平行四边形问题
7.
【解析】
如图，
，点
、
分别是射线
、
上的动点，点
在
内部，且
，
当
周长取得最小值，且
时，
的面积为 ．
【答案】
分别作点
关于
、
的对称点
、
，
连接
，交
、
于点
、
，
此时
的周长最小，等于
的长度，
6
【标注】
设
与
交于点
，
连接
、
、
、
、
、
．
∴
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
∴
是等腰直角三角形，
，
，
根据对称性质可得：
≌
，
≌
，
，
，
，
，
且在
中，由勾股定理得：
，
和
的值为
和
，
．
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【知识点】轴对称的定义
8. 如图，在等腰
中，
，
是
上一点，满足
，在斜边
上求作一
点
使得
长度之和最小．
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【解析】
【标注】
【答案】画图见解析．
过点
作
于
，延长
到
，使
，连接
，则
即为所求．
过点
作
于点
．
因为
为等腰直角三角形，且
，
所以
，所以
，则
，
又
，
所以
，所以
，
根据勾股定理，得：
，
所以：
．
【知识点】轴对称的定义
【知识点】勾股定理与实际问题
【能力】分析和解决问题能力
A.
B.
C.
D.
9. 如图，已知点
是等边三角形
中
的中点，
，点
是
边上的动点，则
的和最小值为（ ）．
【答案】B
8
【解析】
【标注】
作
关于
的对称点
，连接
，
，交
于
，此时
，
根据两点之间线段最短可知
就是
的最小值，
∵
，
关于
的对称，
∴
，
互相垂直平分，
∴四边形
是平行四边形，
∵三角形
是边长为，
∵
为
的中点，
∴
，
∴
，
，
，
作
的延长线于
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
在
中，
，
故
的最小值为
．
【知识点】勾股定理与实际问题
【知识点】两点间的距离公式
【知识点】轴对称的性质
A.
B.
C.
D.
10. 如图，正方形
的面积为
，
是等边三角形，点
在正方形
内，在对角线
上有一点
，使
的和最小，则这个最小值为（ ）．
【答案】B
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【解析】
【标注】
连接
．
∵点
与
关于
对称，
∴
，
∴
．
∴由两点之间线段最短可知当点
为点
处时，
有最小值，
最小值
．
∵正方形
的面积为
，
∴
．
又∵
是等边三角形，
∴
．
∴
的最小值为
．
故选：．
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【思想】数形结合思想
【知识点】轴对称的性质
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】正方形的周长与面积
