文档文本内容
1
垂径定理的综合运用 题集【B】
1. 利用垂径定理求线段长
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
1.
【解析】
如图，在⊙
中，
，
为互相垂直且相等的两条弦，则下列说法中正确的有：①点
，
，
一
定在一条直线上；②若点
，点
分别是
，
的中点，则
；③若点
是
的中点，
连接
，则
是等腰直角三角形（ ）．
【答案】A
①由题意知：
，即
．
∴
为⊙
的直径，
∴点
、
、
一定在一条直线上，①正确．
②连接
，如图所示，
∵
，点
点
分别是
、
的中点，
∴
．
∵
平分
，
平分
，
∴
，
．
∴
，
．
∴四边形
为正方形，
∴
．
③∵
，点
为
中点，
∴
，
，
2
【标注】
∴
．
∵四边形
为正方形，
∴
，
∴
．
∴
是等腰直角三角形．
【知识点】圆周角定理的推论
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】等腰直角三角形的判定
【能力】推理论证能力
2.
【解析】
如图，在平面直角坐标系
中，⊙
与轴相切于点
，与轴相交于
，
两点，如果点
的坐标为
，求点
的坐标．
x
y
O
【答案】
．
连接
、
，过
作
于
，设⊙
的半径是
，
x
y
O
∵⊙
于轴相切于
，
∴
轴．
∵点
，与轴相交于
、
两点，点
的坐标为
．
∴
，
，
，
．
由勾股定理得：
，
．
∴
．
3
【标注】
∴
．
即
的坐标是
．
【知识点】圆与勾股
3.
【解析】
【标注】
如图，⊙
的半径为，点
是弦
延长线上的一点，连接
，若
，
，则弦
的长为 ．
【答案】
过点
作
于点
，连接
，
∵在
中，
，
，
∴
，
∵在
中，
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与勾股
4.
【解析】
如图，在直角坐标系中，四边形
为正方形，顶点
、
在坐标轴上，以边
为弦的⊙
与
轴相切，若点
的坐标为
，则圆心
的坐标为 ．
【答案】
∵过点
作轴的垂线
，
交
于点
，连接
，
4
【标注】
x
y
O
∵点
，
∴
，
∴
．
∵⊙
与轴相切于
，
∴点
是切点，
，
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】勾股定理与实际问题
【知识点】正方形的性质
【知识点】垂径定理以及应用
5.
方法一：
【解析】
如图，在
中，已知
，
，
，以点
为圆心，
为半径的
圆与
交于点
，求
的长．
【答案】
．
连接
，过点
作
交
于点
，
5
方法二：
【标注】
．
在
中，
，
∴
．
如图，作
于
，
∵
，
在
中，∴
，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与三角函数
A.
B.
C.
D.
6.
【解析】
如图，已知在扇形
中，
，半径
，正方形
的四个顶点分别在
和半径
、
上，则
的长为 （ ）．
【答案】B
过点
作
于点
，交
于点
，连接
，如图：
6
【标注】
∵
过圆心，
∴
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∴
是等腰直角三角形，
，
设
，则
，
，
在
中，
，
即
，
解得
．
即
的长为
．
【知识点】圆与勾股
2. 求线段范围或最值
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
1.
【解析】
如图，
的直径为
，弦
为
，
是弦
上一点，若
的长为整数，则满足条件的点
有（ ）．
【答案】D
当
垂直于
时，
为
的中点，此时
最小,
过
作
,得到
为
的中点，连接
,
在
中，
,
,
根据勾股定理得：
,即
的最小值为；
当
与
重合时，
最长，此时
,
7
【标注】
∴
在
中间有，，三个整数点，
在
之间有，，两个整数点，
故
在
上有个整数点．
【知识点】点与圆的位置关系
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，⊙
的半径是，点
在⊙
上．
是⊙
所在平面内一点，且
，过点
作直线，使
．
点
到直线距离的最大值为 ．
若
，
是直线与⊙
的公共点，则当线段
的长度最大时，
的长为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
∵
在⊙
上，且
，
∴
是在以
为圆心，为半径，
∵过点
的
，
∴为过
点的⊙
的切线，
当
点在射线
与⊙
的交点时，
到的距离的最大为
．
当经过⊙
的直径时，
为⊙
的直径时，
．
【知识点】圆中对称性
【知识点】切线的性质定理
【知识点】圆与勾股
【能力】运算能力
【思想】数形结合思想
3. 如图，已知点
是以
为直径的半圆上一个三等分点，点
是
的中点，点
是半径
上的动
点．若
的半径为，则
的最小值为（ ）．
8
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】A
略．
【知识点】轴对称的定义
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】两点之间线段最短
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
4.
【解析】
如图，已知
的半径为，点
到弦
的距离为，则
上到弦
所在直线的距离为的点有（
）
【答案】C
如图
，
，
，
∴
，
∴点
是圆上到
距离为
的点，
∵
，
9
【标注】
∴在
上截取
，
过点
作
，交圆于点
，
两点，
则有
，
，
即
到
的距离为
，
∴点
，
也是圆上到
距离为
的点．
故选．
【知识点】垂径定理以及应用
5.
【解析】
【标注】
是半径为的
内的一点，且
，则过点
且长小于
的整数弦的条数是 ．
【答案】
连接
，作弦
，则
是过点
的最短的弦．
由垂径定理和勾股定理求得最短弦长是．
过点
的弦
，
∴过点
的整数弦小于
的有：、（条对称的）共三条．
【知识点】垂径定理以及应用
6.
【解析】
半径为
的⊙
内有一点
，
，则过
点，且长度为整数的弦的条数是 条.
【答案】
过点
作
，
过点
的弦最长为直径，长为
，最短的弦为
，
由垂径定理
，
则
，
所以过点
的弦长是大于等于
，小于等于
，
其中整数值为个，
长为
和
的弦只有一条，
10
【标注】
长为其他数的弦均有两条，
所以过点
长为整数的弦有
条．
故答案为．
【能力】抽象概括能力
【能力】运算能力
【方法】枚举法
【知识点】圆中对称性
【知识点】垂径定理以及应用
3. 找圆心
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
如图，在单位长度为的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点
、
、
．请完成下列填空：
请在图中确定并点出该圆弧所在圆心
点的位置，圆心
坐标 ．
⊙
的半径
（结果保留根号）．
的长为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
弦的垂直平分线的交点
圆心到圆上任意一点的距离
弧长公式
【知识点】弧长公式
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】垂径定理的推论以及应用
2. 如图为一段圆弧形弯道，弯道长
米，圆弧所对的圆心角是
．
11
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
用直尺和圆规作出圆弧所在的圆心
；（不写作法，保留作图痕迹）
求这段圆弧的半径
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
如图，点
即为所求点；
根据题意得：
，
解得：
．
答：这段圆弧的半径为
米．
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
【知识点】弧长公式
【知识点】垂径定理以及应用
12
4. 典型的分类讨论
1.
【解析】
【标注】
若
的直径是
，
的两条平行弦
，
，则弦
与
间的距离为 ．
【答案】或
，
的相对性位置关系有两种：
①
，
在圆心
的同侧，当
，
在圆心
的同侧时，作
于
，交
于
，如
图所示，
图
∵
，
∴
，
由垂径定理知：
，
，
连结
与
，
，
∴
，
，
∴
与
之间的距离
，
②
，
在圆心
的两侧如图所示，
与
之间的距离
，
图
综上所述，距离为或，
故答案为：或．
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】弧、弦、圆心角关系
13
2.
【解析】
【标注】
已知⊙
的半径为
，弦
，
，
，则
、
之间的距离
为 ．
【答案】
或
①当弦
和
在圆心同侧时，如图，
图
∵
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
．
②当弦
和
在圆心异侧时，如图，
图
∵
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
．
∴
与
之间的距离为
或
．
故答案为
或
．
【知识点】垂径定理以及应用
3.
14
图
图
【解析】
已知圆
的直径为
，
是圆上一固定点，弦
的长为
，当
为等腰三角形时，其
底边上的高为 ．
【答案】
或或
当
为底边时，如图，连接
延长与
交于
，
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
，
∴
为
的高，
在直角
中，
，
∴
．
当
为腰时，如图，连接
并延长与
交于
，
同理可证得：
≌
，
∴
，
可得
≌
，
∴
，
∴
，
为
的高，
∵
，
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
设
，
则
，
解得：
，
15
图
【标注】
∴
，
当如图所示时，
为底，
∵
，
∴
，
设
，则
，
∴
，
解得：
或
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
填空：
在半径为的
中，弦
的长为，则
,
．
在半径为的
中，弦
的长为
，则
，
．
在半径为的
中，弦
、
的长分别为和
，则
的度数是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
;
或
略．
略．
略．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】勾股定理与实际问题
A.
B.
C.
D.
5. 如图，直线
与⊙
相切于点
，
、
是⊙
的两条弦，且
，若⊙
的半径为
，
，则弦
的长为（ ）．
16
【解析】
【标注】
【答案】A
连接
并延长，交
于点
，连接
，
∵直线
与⊙
相切于点
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵在
中，
，
∴
，
∴在
中，
．
故选
．
【能力】运算能力
【知识点】勾股定理应用
【知识点】切线的性质定理
【知识点】垂径定理以及应用
