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1
【因式分解：对称式与轮换式】题集【B】
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
分解因式：
（ ）．
【答案】A
当
时，原式
，所以含有因式
，
根据轮换对称式的性质，
为其因式，
设
令
，
，
，得
，即
；
令
，
，
，得
，即
；
联立两式，解得
，
故原式
．
【知识点】轮换对称多项式
2.
【解析】
【标注】
分解因式：
【答案】
．
当
时，原式
，
根据因式定理和轮换对称式性质，
设原式
，为常数，
当
，
，
时，原式
，解得
，
∴原式
．
【知识点】轮换对称多项式
3. 因式分解：
.
2
【解析】
【标注】
【答案】
．
当
时，原式
，故原式含有齐三次轮换
式
，
又因原式是齐七次轮换式，故含有齐四次轮换式，但原式中 的最高次数是 ，所以齐四次轮换
对称式中 的最高次数是
，
即
．
设原式
，
令
，
，
，可得
，令
，
，
，可得
，
故原式
．
【知识点】轮换对称多项式
4.
【解析】
【标注】
分解因式：
.
【答案】
．
当
时，原式
，
故原式含有齐三次轮换式
，
又因原式是齐四次轮换式，故含有齐一次轮换式
．
设原式
，令
，
，
，
可得
，
故原式
．
【知识点】轮换对称多项式
5.
【解析】
分解因式：
.
【答案】
．
当
时，原式
，
故原式含有齐三次轮换式
，
又因原式是四次非齐次轮换式，
故含有一次轮换式
．
设原式
，
比较
的系数，得
；
3
【标注】
比较
的系数，得
，
故原式
．
【知识点】轮换对称多项式
6.
【解析】
【标注】
分解因式：
．
【答案】
．
这是、、的轮换式，容易知道它有因式
．原式并非齐次式，为
了便于处理，按照次数把它整理一下．
由于
，
所以
，
，
，
，
，
于是，例题中的非齐次式化为两个齐次式的和，分别可得齐次式，
，
，
．
所以得
，
．
故答案为：
．
【知识点】轮换对称多项式
7.
【解析】
分解因式：
．
【答案】
．
令
，则原式
，故
是原式的一
个因式，由轮换对称式的性质可知另一因式为二次齐次轮换对称式，设原式
4
【标注】
，由
项系数可知
，由
项系数可知
，故原式
．
【知识点】轮换对称多项式
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
8.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
分解因式：
．
．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
．
．
．
．
当
时，原式
，故原式含有因式
．
由于原式是关于、、的轮换式，故原式含有因式
．
设原式
，
令
，
，
，则
，
解得
，故原式
．
当
时，原式
，故原式含有因式
．
由于原式是关于、、的轮换式，故原式含有因式
．
设原式
，
令
，
，
，则
，
解得
，故原式
．
当
时，原式
，故原式含有因式
．
由于原式是关于、、的轮换式，故原式含有因式
．
设原式
，
令
，
，
，则
，
令
，
，
，则
，
即
，
，解得
，
，
故原式
．
5
（4 ）
【标注】
当
时，原式
，故原式含有因式
．
由于原式是关于、、的轮换式，故原式含有因式
．
设原式
令
，
，
，则
，
令
，
，
，则
，
令
，
，
，则
，
令
，
，
则
，
解得
，
，
，
，
故原式
．
【知识点】轮换对称多项式
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
（7 ）
9.
【标注】
分解因式：
．
．
．
．
．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
（7 ）
．
．
．
．
．
．
．
【知识点】轮换对称多项式
10. 分解因式：
．
6
【解析】
【标注】
【答案】
．
原式是关于，，，的对称多项式．若视为主元，并以
代入得原式
，故原
式有因式，由对称性知原式有因式
，
又原式是六次齐次多项式，而
是四次齐次多项式，故还有一个关于，，，的二次齐次对
称多项式因式，
所以可设
．
令
，
，得
；
令
，得
．所以
，
．
原式
．
【知识点】轮换对称多项式
11.
【解析】
【标注】
分解因式：
【答案】
原式是、、的轮换式，易知它有因式
．
另一方面，当
时，多项式值为，于是它有因式
．
因此，原式
，其中为常数．
令
，
，
，
，得
，即
原式
．
【知识点】轮换对称多项式
