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1
圆中常见相似模型 题集【A】
1. AA普通相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 如图，⊙
是
的外接圆，
，弦
，
，
，
交
的延长线于点
．
求证：
．
求证：
，并求出
的长．
求证：
是⊙
的切线．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，
是⊙
的直径，
是弦，直线
经过点
，
于点
，
．
求证：
是⊙
的切线．
求证：
．
若⊙
的半径为，
，求图中阴影部分的面积．
2. 共角、等角型相似（A字、8字型）
1. 如图，在
中，
，
平分
．
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
求作⊙
，圆心
是
的中垂线与
的交点，
为半径．（尺规作图，不写作法，保留痕
迹）
求证：
是⊙
切线．
若
，
，求
的长．
（1 ）
（2 ）
2. 如图，
是⊙
的直径，半径
垂直弦
于点
，
是
延长线上一点，
．
判断
与⊙
的位置关系，并证明．
若
，
，求
的长．
（1 ）
（2 ）
3. 如图，在
中，
，以
为直径作⊙
交
于点
，过点
作⊙
的切线
，交
和
的延长线于
、
．
求证：
．
当
，
时，求
的长．
（1 ）
（2 ）
4. 如图，点
在以
为直径的⊙
上，
平分
，
与过点
的直线垂直，垂足为点
，
交⊙
于点
．
求证：
与⊙
相切．
连接
交
于点
，若
，求
的值．
3
（1 ）
（2 ）
5. 如图，已知，⊙
为
的外接圆，
为直径，点
在
上，过点
作
，点
在
的延长线上，且
．
求证：
与⊙
相切．
若
，
，
，求线段
的长．
（1 ）
（2 ）
6. 如图，
为⊙
直径，
是⊙
上一点，
于点
，弦
与
交于点
，过点
作
，使
，交
的延长线于点
．过点
作⊙
的切线交
的延长线于点
．
求证：
是⊙
的切线．
若
，⊙
的半径为，求
的长．
（1 ）
（2 ）
7. 如图，
是⊙
的直径，过点
作⊙
的切线
，点
为⊙
上一点，且
，连接
并
延长交
的延长线于点
．
求证：
是⊙
的切线．
连接
，若
，
，求线段
的长．
8. 如图所示，
是⊙
外一点．
是⊙
的切线．
是切点．
是⊙
上一点．且
，连接
、
、
，并延长
与切线
相交于点
．
4
（1 ）
（2 ）
求证：
是⊙
的切线．
设
．若
．
．求
的长．
3. 共角共边、等角等边型相似（子母型）
（1 ）
（2 ）
1. 如图，
是⊙
的直径，点
为⊙
外一点，连接
交⊙
于点
，连接
并延长交线段
于
点
，
．
判断
与⊙
的位置关系，并证明你的结论．
若
，求
的值．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，⊙
是
的外接圆，
平分
交⊙
于点
，交
于点
，过点
做直线
．
判断直线与⊙
的位置关系，并说明理由．
若
的平分线
交
于点
，求证：
．
在（）的条件下，若
，
，求
的长．
3. 如图，
为⊙
上一点，点
在直径
的延长线上，且
．
5
（1 ）
（2 ）
求证：
是⊙
的切线．
过点
作⊙
的切线交
的延长线于点
，
，
．求
的长．
（1 ）
（2 ）
4. 如图，
是⊙
的直径，点
在
的延长线上，
平分
交⊙
于点
，且
，垂
足为点
．
求证：直线
是⊙
的切线．
若
，
，求弦
的长．
（1 ）
1
2
（2 ）
5. 如图，
是⊙
的直径，
交⊙
于点
，
是弧
的中点，
与
交于点
，
．
求证：
是⊙
的切线．
已知
，
，
求
的长．
求
的长．
6. 已知
是⊙
的直径，
是⊙
上的一点，连结
并延长至
，使
，连结
，作
，垂足为
．
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
判断线段
与
的大小关系．请证明你的结论．
判断
与⊙
的位置关系，并证明．
当
与四边形
的面积比是
时，求证：
是等边三角形．
