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【勾股定理与将军饮马】题集【C】
【复习回顾】：
将军饮马常见模型：
【技巧点拨】：
求将军饮马的最短路程，
①先找到最短路径，
②再构造直角三角形（作垂直）——用勾股定理求长度
最小
周长最小
最小
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，
为线段
上一动点，分别过点
，
作
，
，连结
，
，已知线段
，
，
，设
．
用含的代数式表示
的长 ．
最小值为 ．
根据（）中的规律和结论，求出代数式
的最小值为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
∴
．
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
连接
交
于
（两点之间线段最短），
延长
到
，使
，
，
，
，
，
∴
．
由
可知，
此时
，
，
，
同理可得，最小值为
．
【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，在
的小正方形网格中，小正方形的边长为，点
在格点（网格线的交点）上．
试在格点上找点
，使得
，并写出点
的坐标．
在格点上找出点
和
，使得
（只画出一条符合条件的线段
）．
点
，点
是线段
上一动点，在图中作出长度分别为
和
的线段，并求
的最小值．
【答案】（1 ）
或
．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
（2 ）
（3 ）
答案见解析．
如图
，
．
如图：
如图：
点
，
，连接
交轴于点
，
此时
最小，即
最小，
最小值为
．
4
【标注】【知识点】线段和的最小值
【知识点】坐标与距离
【能力】运算能力
3. 阅读材料：
例：说明代数式
的几何意义，并求它的最小值．
解：
，
如图，建立平面直角坐标系，点
是轴上一点，
则
可以看成点
与点
的距离，
可以看成点
与点
的距离，
所以原代数式的值可以看成线段
与
长度之和，
它的最小值就是
的最小值．
设点
关于轴的对称点为
，则
，
因此，求
的最小值，只需求
的最小值．
而点
，
间的直线段距离最短，所以
的最小值为线段
的长度．
为此，构造直角三角形
，
∵
，
，
∴
，即原式的最小值为
．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
y
O
x
5
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
代数式
的值可以看成平面直角坐标系中点
与点
、点
的距离之和（填写点
的坐标）．
代数式
的最小值为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
或
∵原式化为
形式，
∴代数式
的值可以看成平面直角坐标系中点
与点
、点
或
的距离之和，
故答案为
，
．
∵原式化为
的形式
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点
与点
、点
的距离之
和，
y
O
x
如图所示：设点
关于轴的对称点为
，则
，
∴
的最小值，只需求
的最小值，而点
、
间的直线段距离最短，
∴
的最小值为线段
的长度，
∵
，
∴
，
，
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】勾股定理与几何问题
4. 如图，
为线段
上一动点，过
作
且
，过
作
且
，连接
、
，若
，设
．
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
的长为 （用含的式子表示，不必化简）．
当点
的位置满足 时，
的和最小，最小值是 ．
根据以上结论，你能通过构图求出
的最小值吗？请画出你的示意
图，适当加以说明并求出此最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
、
、
三点共线． ;
、
、
三点共线．
即为直角边为和的直角三角形的斜边长，
即为直角边为
和的直角三角形的斜边长，
如图可得：
，
如图，分别延长
、
使得
，
则
，
在
中
∴
，即
最小值为
．
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【标注】【知识点】动点与线段-无数轴
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知如图：若将数轴上表示
与
的两个点分别记为
，
，则
、
之间的距离可以表示为
．
在平面直角坐标系
中，若已知
，
，求线段
的长．
利用上面所得公式，求代数式
的最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
代数式
的最小值为
．
如图，过点
作
轴，过点
作
轴，两直线相交于点
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
．
在
中，
．
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【标注】
∵
，
∴代数式
可看作点
到点
与
的距离和．
如图，即求点
，点
与轴上的动点
的距离和
的最小值．
作点
关于轴的对称点
，则
即为所求的最小值．
由（）中的结论可得，
．
∴代数式
的最小值为
．
【知识点】坐标系中的对称-图形的对称
【知识点】坐标与距离
【能力】运算能力
6.
【解析】
【标注】
在平面直角坐标系中，点
，
之间的距离
，
由此可发现：
可以看做点
到点
的距离，
则
的最小值为 ．
【答案】
原式=
可以看作轴上有一点（x，0），到（1，1）
和（4，3）的距离之和．由将军饮马，最小为（1，
）和（4，3）的距离，即最小值为5
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【知识点】坐标与距离
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