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1
【因式分解：对称式与轮换式】题集【A】
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
轮换对称式因式分解的第三步是根据试根的结果判断因式，已知当
时，多项式
的值等于，那么该多项式可以分解为（ ）．
【答案】B
因为当
时，原式
，根据因式定理与轮换对称式的性质，
得
为原式的因式．
比较其与原式的次数，设原式
，为常数．
当
，
，
时，
代入得
，
解得
，则原式
．
也可以直接比较等号左右两边
项的系数，得
．
故选．
【知识点】轮换对称多项式
2.
【解析】
分解因式：
．
【答案】
．
常数项
的因数为
，
，
，
，
，
，
．
把
代入原式，得
，
所以是原式的根，
是原式的因式，并且
．
2
【标注】【知识点】选主元法
3.
【解析】
【标注】
分解因式：
.
【答案】
.
原式不是轮换对称式，所以设
，则原式
，此时为轮换对称
式，
当
时，原式
，根据轮换对称式性质，
为其因式，
当
时，原式
，
也为其因式，
设原式
，
为常数，
当
，
时，
①
当
，
时，
②
由①和②解得
，
∴原式
.
【知识点】轮换对称多项式
4.
【解析】
分解因式：
．
【答案】
．
是关于、、的轮换式．
如果把
看作关于的多项式，
那么在
时，它的值为
．
因此，
是
的因式．
由于
是、、的轮换式，
所以可知
与
也是它的因式．从而它们的积．
①是
②的因式．
由于①、②都是、、的三次多项式，
所以两者至多相差一个常数因数，即有
③．
现在我们来确定常数的值．为此，比较③的两边
的系数：左边系数为，右边系数为一．
因此，
．
于是
．
3
【标注】【知识点】轮换对称多项式
5.
【解析】
【标注】
因式分解：
．
【答案】
．
原式
．
【知识点】重组重解
6.
【解析】
【标注】
因式分解：
．
【答案】
．
当
时，原式
，故原式含有齐三次轮换
式
，又因为原式是齐五次轮换式，故含有齐二次轮换式
．
设原式
，令
，
，
，
可得
；令
，
，
，可得
，
解得
，
，故原式
．
【知识点】轮换对称多项式
7.
【解析】
分解因式：
．
【答案】
．
当
时，原式
，故原式含有齐三次轮换式
；
当
时，原式
，故原式含有齐三次轮换式
．
4
【标注】
又因原式是齐六次轮换式，故原式
，令
，
，
，可
得
，解得
，故原式
．
【知识点】轮换对称多项式
（1 ）
（2 ）
8.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
分解因式：
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
原式是关于、、的轮换式．
若将原式视为关于的多项式，则当
时，原式
，
所以
是原式的因式，又由于轮换式的特性，
所以
、
也为原式的因式．
所以
．
对比等式两边的
的系数，可知
，
所以
．
同上，易得
，
赋值，令
，
，
，求得
，
故
．
【知识点】轮换对称多项式
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
9. 因式分解下列各式：
．
．
．
．
．
5
（6 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
【解析】
【标注】
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
．
．
．
．
．
．
原式
．
原式
．
原式
．
原式
．
原式
．
原式为轮换对称多项式，当
时，原式
，
所以原式含有因式
，设原式
，
令
，
，
，得
，
，
故原式
．
【知识点】轮换对称多项式
（1 ）
（2 ）
（3 ）
10. 分解因式：
．
．
．
6
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
【知识点】轮换对称多项式
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
11.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【解析】
【标注】
分解因式：
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
原式
原式
原式
原式
由题意，原式是关于
的轮换式．
在
时，它的值为，同理在
或
的时候，它的值也是0，
∴
是原式的因式，又因为原式为三次齐次式，
∴令
，
比较两边的系数，得
∴原式
【知识点】轮换对称多项式
、
、
