文档文本内容
1
【勾股定理与全等常见模型】题集【B】
1. 角含半角
【温故知新】：
典型模型：正方形
，
（等邻边，大角含半角）
结论：
左图：延长
到点
，使得
①
②
③
④
右图：在
上截取
，连接
①
②
③
④
⑤
≌
，
≌
、
≌
，
，
≌
1. 如图，在
中，
，
，点
，
在
上，且
，若
，则
．
【答案】
2
【解析】
【标注】
过点
作
，且
，连接
，
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
在
中，
，则
，
在
中，
，设
，则
．
∴
，
解得
．
【知识点】方程思想在勾股定理的应用
2. 在
中，
，
，
、
是斜边
上两点，且
，将
绕点
顺时针旋转
后，得
，连接
．下列结论：①
≌
．②
的面积等于四边形
的面积．③
．④
．⑤
．其中正确的是（ ）．
3
A. ①③④
B. ③④⑤
C. ①②④
D. ①②⑤
【解析】
【答案】C
①由旋转的性质知：
，
，
∵
，
，
∴
．
∴
．
即
．
又∵
，
∴
≌
．
故①正确．
②由旋转的性质可得
≌
，
∴
，
，
．
故②正确．
③由①可得：
≌
，
∴
，
，
∴
，
故③错误．
④∵
，
，
∴
．
由旋转可得：
≌
，
∴
．
，
∴
．
正方形
4
【标注】
由①可得：
≌
，
∴
．
在
中，
，
∴
．
故④正确．
⑤由已知条件不能推出
．
故正确的是①②④．
【知识点】旋转性质综合应用
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，
，点
是线段
上的一动点
，点
关于直线
的对称点为
，
的角平分线与线段
的延长线交
于点
，
交
于点
．
若
，则
的度数为 ．
当点
在线段
上运动时,
的大小是否发生变化．若不变，请求出
的度数．若变化请
说明理由．
用等式表示线段
与
、
之间的数量关系（直接写出结果，不必证明）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
不变，
．
．
由对称性可知
，
∴
，
∵
平分
，
5
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
．
由对称性可知
，
，
设
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
大小不变，
．
．
【知识点】角的和差的计算与证明-不需要分类讨论
【知识点】角的平分线及等分线的定义
【知识点】轴对称的性质
【知识点】勾股定理与实际问题
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】全等三角形的判定
【知识点】对应边
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
如图，已知
是正方形
的对角线，
，
与
相交于点
，
，与
相交于点
，与
相交于点
．若
，
，
，则
的值为（ ）．
【答案】C
将
绕点
顺时针旋转
，
与
重合，
与
对应，
6
【标注】
∵
，
∴
，
，
在同一条直线上，
∴
，
又∵
，
，
∴
≌
（
），
∴
过
作
的垂线并取
，连接
、
．
先证
≌
，
∴
．
再证
≌
，
∴
∴以
、
、
为三边的三角形为直角三角形．
∴
【知识点】正方形与全等综合
5. 我们可以通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，
请补充完整．
原题：如图，点
、
分别在正方形
的边
、
上，
，连接
，则
，试说明理由．
7
（1 ）
（2 ）
（3 ）
图
思路梳理
∵
，
∴把
绕点
逆时针旋转
至
，可使
与
重合．
∵
，
∴
，点
、
、
共线．
根据 ，易证
≌ ，得
．
类比引申
如图，四边形
中，
，
点
、
分别在边
、
上，
．若
、
都不是直角，则当
与
满足等量关系 时，仍有
．
图
联想拓展
如图，在
中，
，
，点
、
均在边
上，且
．猜想
、
、
应满足的等量关系，并写出推理过程．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
，证明见解析．
8
（1 ）
（2 ）
【解析】
∵
，
∴把
绕点
逆时针旋转
至
，可使
与
重合．
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，点
、
、
共线，
在
和
中
，
∴
≌
（
），
∴
，
即：
．
时，
．
∵
，
∴把
绕点
逆时针旋转
至
，可使
与
重合，
∴
，
图
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，即点
、
、
三点共线，
在
和
中
，
∴
≌
（
），
∴
，
9
（3 ）
【标注】
即：
．
猜想：
，
证明：将
绕点
顺时针旋转
得到
，连接
，
图
∴
≌
，
∴
，
，
，
，
在
中，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
即
，
在
和
中，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
6. 在正方形
中，点
、
分别在边
、
上，且
．
过点
作
交
的延长线于点
，得到
，如图①，求证：
≌
．
10
图
图
（2 ）
图
（3 ）
（1 ）
【解析】
若直线
与
、
的延长线分别交于点
、
，如图②，求证：
．
将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，如图③，请你直接写出线段
、
，
之间的数量关系．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
图
∵
，
∴
，
在
和
中
11
（2 ）
（3 ）
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
．
设正方形
的边长为，
过点
作
交
延长线于
，连接
，
图
则
≌
，
，
由（）知
≌
，
∴
，
∵
，
∴
、
、
均为等腰直角三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
，
如图所示，延长
交
延长线于
点，交
延长线于
点，
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【标注】
图
将
绕着点
顺时针旋转
，得到
，连结
，
，
由（1）知
≌
，
则由勾股定理有
，
即
，
又∵
，
，
，
所以有
，
即
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7.
（1 ）
【解析】
如图，
中，
，
，点
、
在边
上，且
．
备用图
以点
为旋转中心，将
顺时针旋转
，画出旋转后的图形．
若
，
，求
的长．
若
，
，直接写出
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
作图见解析．
的长为
．
旋转后
如图所示．
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方法一：
方法二：
（2 ）
方法一：
（3 ）
连接
，
∵
、
，
∴
，
由旋转的性质可知
≌
，
∴
、
、
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
、
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
易证：
，
∴
，
∴
．
∵
、
，
∴
，
设
，
在
中
，
∴
，
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方法二：
【标注】
解得
，
∴
的长为
．
设
，则
，
则
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】旋转型全等
2. 对角互补
【温故知新】：
典型模型：等腰直角
，
为
中点
结论：连接
，则
①
②
③
，
为等腰直角三角形
④
⑤
⑥四边形
的面积=
≌
≌
如图所示，在等腰直角
中，
，点
是斜边
的中点，点
、
分别为
、
边
上的点，且
．
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
证明：
．
若
，
，求
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
如图所示，延长
至点
，使得
，连接
、
，
∵
，
，
∴
≌
．
∴
，
．
∴
．
∵
是等腰直角三角形，
∴
．
∴
．
∴
．
在
中，根据勾股定理，得
，
∴
．
如图所示，连接
，
∵
，
，
∴
，
，
．
∴
．
∵
，
∴
．
16
【标注】
∴
．
即
．
∴
≌
．
∴
，
．
∴
．
∴
．
在
中，根据勾股定理得：
．
在
中，根据勾股定理得：
．
∴
．
【知识点】勾股定理与全等
