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圆周角定理的综合运用 题集【A】
1. 圆周角相关的计算与证明
利用圆周角定理求角度
1.
【解析】
【标注】
如图已知
是
的直径，
为弦，
．过圆心
作
交弧
于
，连接
，则
．
【答案】
∵
，
，
∴在直角三角形
中，
（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵
（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
2. 如图，
，
是⊙
的直径，
是⊙
上的一点，且
．
2
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
．
若
，求
的度数．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∵由（）知，
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
（1 ）
（2 ）
3. 如图，在⊙
中，
，
．
求证：
是等边三角形．
求
的大小．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
3
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
∵
，
∴
，又
，
∴
是等边三角形．
∵
是等边三角形，
∴
，
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
【标注】
如图，在⊙
中，直径
⊥弦
于点
，
是⊙
上的点，若
，则
的度数为
（ ）．
【答案】C
由垂径定理可以知道，弧
弧
，再根据圆周角定理可知，
．
【知识点】圆周角定理以及应用
利用直径所对圆周角求角度
1.
的三个顶点在⊙
上，
，
为垂足，
是
的中点，求证：
．
4
【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
连接
， 则
，
，
∵
，
∴
，
又∵
是
的中点，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
（1 ）
（2 ）
2. 如图，
是⊙
的直径，弦
，
，
，垂足为
．
求
的长．
求劣弧
的长．
【答案】（1 ）
．
5
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）劣弧
的长为
．
∵
是⊙
的直径，
∴
，
又∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
是等边三角形，
∴
．
∵
，
∴劣弧
的长为
．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
3.
【解析】
如图所示，
是⊙
的直径，
为弧
的中点，交
于点
，连接
．过点
作
的垂线，垂
足为点
，求证：
．
【答案】证明见解析．
连接
，
∵
是直径，
∴
，
即
．
又∵
，
∴
．
6
【标注】
∴
．
∵点
是
的中点，
∴
，
∴
．
∴
．
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
利用直角三角形求线段
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
中，
，以
为直径的⊙
交
于点
，交
于点
．
求证：
．
若
，
，求⊙
的半径．
若
，连接
，过点
作
，交⊙
于点
，连接
，则
的度数
是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
如图，连接
，
∵
是⊙
的直径，
∴
，又
，
∴
．
如图，连接
，设直径为，
∵
，
∴
，
7
（3 ）
【标注】
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∴
，
解得，
，
∴⊙
的半径
．
∵
，
∴
，
∴
，
在
中，
为
的中点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，又
，
∴
．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，
的平分线交
的外接圆于点
，
的平分线交
于点
．
求证：
．
若
，
，求
外接圆的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
平分
，
平分
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
8
方法一：
方法二：
（2 ）
∵
，
，
∴
，
∴
．
如图，连接
．
由（）得：
，
∴
，
∵
，
∴
是
外接圆的直径，
∴
，
∴
，
∴
外接圆的半径
．
如图，连接
．
∵
，
∴
是
外接圆的直径，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形．
∵
，
∴
，
∴
的外接圆的半径为
．
3. 如图，已知：
内接于⊙
，
是⊙
的切线，
的延长线交
于点
．
9
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
若
，求
的度数．
在（）的条件下，若
，求⊙
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
如图，连接
，
∵
是⊙
的切线，
∴
．
设
，
则
，
，
，
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
在
中，
．
∴⊙
的半径是．
【知识点】圆与三角函数
圆周角定理与垂径定综合
1. 如图，
是半径为的⊙
的直径，
是圆上异于
，
的任意一点，
的平分线交⊙
于点
，连接
和
，
的中位线所在的直线与⊙
相交于点
、
，则
的长是 ．
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【解析】
【标注】
【答案】
如图所示，
∵
是
的角平分线，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
是直径，
∴
．
即
是等腰直角三角形．
连接
，交
于点
，则
．
∵
是
的中位线，
∴
．
∴
，
．
连接
，根据勾股定理，得：
，
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
（1 ）
（2 ）
2. 如图，
是⊙
的直径，弦
于点
，点
在⊙
上，
恰好经过圆心
，连接
．
若
，
，求⊙
的直径．
若
，求
的度数．
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（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
⊙
的直径是
．
．
∵
，
，
∴
，
设
，
又∵
，
∴在
中，
，
解得
，
∴⊙
的直径是
．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图所示，在⊙
中，
是直径，
是弦，
，
．
是
上一点（不与
、
重合），求证：
．
若
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
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（2 ）
【标注】
∵
是直径，
，
∴
，
∴
，
∴
．
中，
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与勾股
2. 动点问题
A.
B.
C.
D.
【解析】
如图，点
、
、
、
、
、
为⊙
的六等分点，动点
从圆心
出发，沿
的
路线做匀速运动，设运动的时间为，
的度数为，则下列图象中表示与之间函数关系最恰
当的是（ ）．
【答案】C
当
点在线段
上移动时，随的变大而在减小；
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【标注】
当
点在
上移动时，
不变始终为
；
当
点在线段
上移动时，随的变大而在变大．
【知识点】由动点判断函数图象
3. 探究类问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
小明遇到这样一个问题：如图，在锐角
中，
、
、
分别为
的高，求证：
．
小明是这样思考问题的：如图，以
为直径作半圆
，则点
、
在⊙
上，
，所以
．
以
为直径做半圆
，则点在⊙
上的判断依据是 ．
如图，若
，则
的度数是 ．
图
如图，在
中，若
，则
的度数是 ．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
的圆周角所对的弦是直径
的圆周角所对的弦是直径．
∵
，
，
∴
．
∵点
、
、
、
四点共圆，
∴
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【标注】
∵
∴
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆内接四边形综合
2.
【解析】
【标注】
阅读下面的材料：
小明遇到一个问题：如图，直线
，试画一个等腰直角三角形
，使其三个顶点分别在
直线、、上．
小明是这样思考的（如图）：
现在上任取一点
，作
于
，在上截取
，连接
，于交于点
，连结
，作
的外接圆，交于点
，
即为所求．
请你参考小明的作法完成以下作图，在右图中划出一个等边三角形
，使其三个顶点分别在直线
、、上．
【答案】画图见解析．
【知识点】圆周角定理以及应用
（1 ）
3. 如图，
是⊙
的直径．
如图，垂直于
的两条弦
，
把圆周等分，则
的度数是 ，
的度
数是 ．
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（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
如图，垂直于
的三条弦
，
，
把圆周等分，分别求
，
，
的
度数．
图
如图，垂直于
的条弦
，
，
把圆周
等分，请你用含的代数
式表示
的度数（只需直接写出答案）．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
，
，
．
（或
）．
，
．
∵圆周被等分，
∴
．
∵直径
，
∴
，
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（3 ）
【标注】
∴
，
，
．
．
（或
）．
【知识点】圆周角定理以及应用
