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1
作平行构相似 题集【A】
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
如图，正方形
中，
、
分别在边
、
上，
、
相交于点
，若
，
，则
的值是（ ）．
【答案】C
如图，作
，交
于
，交
于
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∵
，
∴四边形
是矩形，
∵
，设
，
则
，
，
，
∵
，∴
，∵
，
∴
，
∴
，
2
【标注】
∴
．
∵
，∴
，
∴
，
故选．
【知识点】相似模型的构造和应用
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，平行四边形
中，点
是边
的一个三等分点
，
交对角线
于点
，则
等于（ ）．
A
B
C
D
E
F
【答案】C
设
，
，则
，
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
故选：．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
3. 如图，在
中，
为
边的中点，
为
边上的任意一点，
交
于点
．
当
时，求
的值．
3
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
方法一：
方法二：
（3 ）
【解析】
【标注】
当
或
时，求
的值．
猜想
时
的值，并证明你的猜想．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
当
时，
；
当
时，
．
．
当
时，
．
当
时，
；
当
时，
．
当
时，
．
如图，过点
作
，交
于点
．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
．
由
被直线
所截可知
，
∵
，
，
故
．
【知识点】梅涅劳斯定理
4.
4
A.
B.
C.
D.
【解析】
如图，
中，
，
是
边上的三等分点，
是
的中点，
交
，
于
，
，则
等于( )．
【答案】C
如图，设
，则
，
作
交
于点
．
∵
是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
．
∴
，则
，
如图，作
交
于点
，设
，则
，
图
∴
．
∴
，
∴
，
，
5
【标注】
∵
，
∴
．
∴
，
∴
，即
，
∴
．
∴
．
∴
．
故选．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
5. 已知
中，
，
，
，点
从点
出发沿
方向以每秒个单位速度
向点
匀速运动，同时点
从点
出发沿
的延长线方向以每秒单位的速度运动．当
点运动到点
时，点
停止运动，连接
交
于点
，设运动时间为秒．
如图，当
时，求的值．
如图，作
于点
，请求出
的长度．
6
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
设线段
的中点为
，当
点从
运动到
点，请直接写出
点的路径长 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
过
作
交
于
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
过
作
交
于
，
，
∴
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
．
7
（3 ）
【标注】
故答案为：
．
建系法：以
为原点、直线
为轴、
为轴建立坐标系，
、
，
∴
，
的轨迹：
∴
的轨迹是直线，
∵
，
∴
、
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】相似模型的构造和应用
（1 ）
（2 ）
6. 在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：
已知：如图在
中，点
是
边延长线上一动点，点
在
上，且
，连接
交
于点
．
如图，当点
恰为
的中点时，请求出
的值．
如图，当
时，请求出
的值（用含的代数式表示）．
思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：
8
（1 ）
【解析】
甲：过点
作
交
于点
，构造相似三角形解决问题；
乙：过点
作
交
于点
，构造相似三角形解决问题；
丙：过点
作
交
延长线于点
，构造相似三角形解决问题；
老师说：“这三位同学的想法都可以”．
请参考上面某一种想法，完成第（1）问的求解过程，并直接写出第（2）问
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
甲同学的想法：过点
作
交
于点
．
∴
，
，
∴
．
∴
．
∵
为
的中点，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
乙同学的想法：过点
作
交
于点
．
∴
．
∵
为
的中点，
∴
．
∴
．
∵
，
9
（2 ）
【标注】
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
丙同学的想法：过点
作
交
延长线于点
．
∴
，
，
∴
．
∴
．
∵
为
的中点，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
，
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
过程同（1）．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
7. 如图，在
中，
，
为
边上一点，
为
延长线上一点，
交
于点
，点
是线段
上一点，若
，记
，且
，试用含
的代数
式表示
．
【答案】
．
10
【解析】
【标注】
过
作
交
于
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
．
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∴
．
又
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似模型的构造和应用
8. 已知：如图，在
中，点
、
分别在边
、
上，
，
与
相交于
点
，
．
11
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
．
求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
9. 如图，在
中，
，
，
为
延长线上一点，
．过点
作
，交
的延长线于点
．
求
的值．
若
，求
的长．
12
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
在
中，
，
∴
．
方法一： ∵
，
，
∴
，
∴
， ∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
方法二：
∵
，
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】解直角三角形的综合应用
10. 如图，
的顶角
的平分线交边
于
，求证：
．
13
【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
设
，作位似旋转变换
，
则
，
，则
在
边上，
①，
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
是
的平分线，
∴
，∴
，
即
②，
则①+②得
，
即
．
【知识点】相似模型的构造和应用
11. 如图所示，在
中，
，
平分
交
于点
．求证：
．
14
【解析】
【标注】
【答案】
．
分别过
,
两点做
的平行线，分别交
、
的延长线于
, 两点．
∵
，
∴
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
为正三角形，同理
亦为正三角形．
则
，
，
．
【知识点】相似模型的构造和应用
（1 ）
（2 ）
（3 ）
12.
（1 ）
【解析】
如图所示，在
中，
．
当点
在斜边
内部时，求证：
．
当点
与点
重合时，第
小题中的等式是否存在？请说明理由．
当点
在
的延长线上时，
中的等式是否存在？请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
成立．
不成立．
作
，垂足为
．
由勾股定理得
．
15
（2 ）
（3 ）
【标注】
所以
．
因为
，所以
，
．
故
．
当点
与点
重合时，第
小题中的等式仍然成立．此时有
，
，
．
所以
，
．
从而第
小题中的等式成立．
当点
在
的延长线上时，第
小题中的等式不成立．
作
，交
的延长线于点
，
则
，
而
，
所以
【知识点】相似模型的构造和应用
（1 ）
（2 ）
13. 证明下列命题．
已知
为平行四边形
边
上任意一点，
交
的延长线于
点，求证：
．
已知：
为
的中位线
上任意一点，
、
的延长线分别交对边
、
于
，求证：
．
、
16
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵
为平行四边形，
∴
，
，
∴
，
∴
．
延长
分别交过
的平行于
的直线于
两点，
，且
，
，
，
又
，
≌
，可得
，
又
，
，
∴
．
【知识点】相似模型的构造和应用
、
