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【勾股定理与图形折叠问题】题集【A】
翻折变换：
（1）翻折前后，两个图形全等；
（2）对应线段、对应角相等；
（3）对应点连线被折痕垂直平分．
例：
、
被
垂直平分
【解题步骤】：
（1）找：找折痕，利用翻折性质，找全等
（2）设：设适当的未知数，将已知边和未知边（用含的代数式表示）
转化到同一直角三角形中
（3）列：利用勾股定理列方程，解方程
三角形的折叠
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
如图，在
中，
，
，
，将
沿
折叠，使点
与点
重合，则
的长等于（ ）．
【答案】C
设
，
由折叠的性质可知
，
∵
，
，
，
2
【标注】
∴
，
∴
，
在
中
，
∴
，解得
，
∴
．
【知识点】翻折问题与勾股定理
2.
【解析】
【标注】
如图所示，是一张直角三角形纸片，两直角边
，
，现将
折叠，使点
与
点
重合，折痕为
，则
的长为 ．
【答案】
由折叠可知
，
设
，
则
，
，
计算得
，
则
，
故答案为
．
【知识点】翻折问题与勾股定理
3. 已知如图，在
中，
，
，
．将
折叠使
与
重合，折痕为
，求
的长．
3
【解析】
【标注】
【答案】
．
∵在
中，
，
，
，
∴
，
∵
由
翻折而成，
∴
，
设
，则
，
在
中，
，即
，解得
，即
．
【知识点】方程思想在勾股定理的应用
长方形的折叠
1.
【解析】
如图，将长方形纸片
折叠，使边
落在对角线
上，折痕为
，且
点落在
处，若
，
，则
的长为 ．
【答案】
设
的长为，
则
，
∵
，
∴
，
在
由勾股定理得：
，
4
【标注】
解得
．
【知识点】翻折问题与勾股定理
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，将长方形纸片
折叠，使边
落在对角线
上，折痕为
，且
点落在
处，若
，
，则
的长为（ ）．
【答案】A
设
为，
∴
，
∵
，
∴
，
由勾股定理得：
，
解得
，
故选
．
【知识点】翻折问题与勾股定理
3. 如图，矩形纸片
的长
，宽
，将其折叠，使点
与点
重合，那么折
叠后
的长是多少？
＇
【答案】折叠后
的长为
．
5
【解析】
【标注】
设
，则
，
在
中，
，
即
，
解得
．
∴
．
答：折叠后
的长为
．
【知识点】翻折问题与勾股定理
4.
【解析】
如图，矩形纸片
，长
，宽
，将其折叠，使点
与点
重合，那么折叠
后
的长为 ，折痕
的长为 ．
【答案】
;
由折叠的性质可知，
，
设
，则
，
．
在
中，
，
∴
，
解得：
．
∴
，
，
同理可得：
．
过点
作
于
，
∵
，
6
【标注】
∴四边形
为矩形，
∴
，
，
，
∴
．
在
中，
．
【知识点】翻折问题与勾股定理
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
5.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【解析】
如图，四边形
是长方形纸片，
，
，在
上取一点
，将纸片沿
翻折，
使点
落在
边上的点
处．
的长
．
的长
．
的长
．
求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）．
根据折叠可得
，
故答案为：
．
∵四边形
是矩形，
∴
，
，
在直角三角形中：
，
故答案为：．
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
故答案为：．
设
，则
，
，
在
中，∵
，
7
【标注】
∴
，
解得
．
则
．
【知识点】勾股定理与实际问题
【知识点】矩形的判定及应用
【知识点】矩形的性质
6.
【解析】
【标注】
如图，在矩形
中，
，
，将矩形
翻折，使得点
落在
边上的点
处，折痕
交
于点
，求
的长．
【答案】
．
由题意，得
，
，
．
在
中，由勾股定理，得
．
在矩形
中，
．
∴
．
设
，则
．
在
中，
．
解得
，即
．
【知识点】翻折问题与勾股定理
7. 如图，沿折痕
叠矩形
的一边，使点
落在
边上的点
处，若
，且
的面
积为
，求
的长．
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【解析】
【标注】
【答案】
．
由题意得：
，解得
，
∴
，
∴
，
根据勾股定理，得
，
即
，解得
．
【知识点】三角形折叠
8.
【解析】
【标注】
如图所示，沿
折叠矩形，点
恰好落在
边上的点
处，已知
，
，求
的长．
【答案】
．
设
，∵
，则
，
由题意可得：
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
∵
，
∴
，
∴
，
解得
，
∴
．
【知识点】四边形与折叠问题
9. 如图，正方形
的边长为，将正方形折叠，使顶点
落在
边上的点
处，折痕为
．若
，求线段
、
的长．
9
【解析】
【标注】
【答案】
，
．
∵
，
，
∴
．
设
，
则
．
由折叠可知
．
在
中，
，
∴
．
即
．
解得
．
∴
．
【知识点】轴对称的定义
【知识点】勾股定理的证明
