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1
勾股定理 题集【B】
1. 勾股定理与证明
由前面的观察和探究，我们不难发现：
如果直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，
那么
．
即直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．
【注意】
（）如图所示：勾——短的直角边，股——长的直角边，弦——斜边．
（）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用与锐角三角形和钝角三角形．
（）为方便应用勾股定理进行计算，常将
进行如下变形：
①
；②
；③
；
④
；⑤
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，已知在
中，
于
，
，
，
．
求
的长．
求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵
于
，且
，
，
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
．
2
（2 ）
【标注】
在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】方程思想在勾股定理的应用
2.
【解析】
【标注】
如图，直线上有三个正方形、、，其中、的面积分别为和
．求正方形的面积．
【答案】
．
根据正方形的性质得
，
，
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
∴
≌
，
，
．
在
中，由勾股定理得
，
即正方形的面积是
．
【知识点】勾股定理与全等
3. 如图，一棵树高
米，被大风刮断，树尖着地点
距树底部
为
米，求折断点
离地高度多少
米？
3
【解析】
【标注】
【答案】米．
根据题目分析可知：
，
，
设
，则
，
在
中，
根据勾股定理可得：
，
解得：
，
即折断点
离地高度米．
【知识点】勾股定理与实际问题
4.
【解析】
【标注】
《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹
子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部尺远．问：
原处还有 高的竹子？（丈
尺）
【答案】
设竹子折断处离地面尺，则斜边为
尺，
根据勾股定理得：
，
解得：
．
【知识点】勾股定理与实际问题
5. 如下图，在
中，
，求证：
．
【答案】答案见解析
4
【解析】
【标注】
在
中，
，
在
中，
，
∴
．
【知识点】勾股定理的综合应用
6.
【解析】
【标注】
如图，
中，
，
，则
【答案】
作
，
两式相减得：
【知识点】勾股定理的综合应用
A.
B.
C.
或
D.
或
7.
【解析】
在
中，
，
，
边上的高
，则
的长为（ ）．
【答案】C
如图，锐角
中，
，
，
边上高
，
图
在
中，
，
，
由勾股定理得
，
在
中，
，
，
5
【标注】
由勾股定理得
，
的长为
．
如图，钝角
中，
图
，
，
边上高
，
在
中，
，
，
由勾股定理得
，
在
中，
，
，
由勾股定理得
，
．
【知识点】已知两边求第三边-分类讨论
8.
图
【解析】
在
中，
，
，
边上的高
，求另一边
的长度．
【答案】或
根据题意画出图形，如图所示，
如图所示，
，
，
，
在
和
中，
根据勾股定理得：
，
，
此时
；
如图所示，
，
，
，
在
和
中，
根据勾股定理得：
，
，此时
，
则
的长为或
．
6
图
【标注】【知识点】直接用勾股求边长
2. 含有特殊角度的直角三角形
（）等腰直角三角形的三边比为
（其中
为斜边）．
（）含有
角的直角三角形的三边比为
（其中为斜边）．
（）顶角为
的等腰三角形的三边比为
．
（）若等边三角形的边长为，则等边三角形的面积为
．
7
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，
，
，
点在
的垂直平分线上，若
，则
（ ）．
【答案】C
∵
点在
的垂直平分线上，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
故选．
【知识点】作线段的垂直平分线
2. 如右图，在
中，
，
，
的垂直平分线
交
于点
，交
于点
，
，则
的长为 ．
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【解析】
【标注】
【答案】
连接
，
∵
，
，
∴
．
∵
垂直平分
，
∴
，
在
中，
且
，
∴
，
在
中，
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】30°特殊角的性质应用
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
【标注】
在锐角
中，
，若
，则
的对边
长的取值范围是（ ）．
【答案】B
如图所示，过点
作
于点
，
过点
作
交
延长线于点
．
∵
，
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】30°特殊角的性质应用
4. 如图，在
中，
，
，
，求
的长．
【答案】
．
9
【解析】
【标注】
过
作
于
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴在
中，
，
∴
．
【知识点】直接用勾股求边长
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
【解析】
已知：在
中，
，
，
，求：
、
的长．
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
过
作
交于点
，
∵
，∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴设
，
，
∴
中，
，
∴
，
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（2 ）
【标注】
∵
中，
，
∴
，
∴由勾股定理得，
，
∴
．
．
【知识点】直接用勾股求边长
6.
【解析】
【标注】
已知：如图，在
中，
，
，
，
是
延长线上一点且
．求
与
的长．
【答案】证明见解析．
过
作
于
，
在
中，
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
在
中，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】直接用勾股求边长
7. 在
中，
，
，一动点
从
向
以每秒
的速度移
动，当
点移动 秒时，
与腰垂直．
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【解析】
【标注】
【答案】或
∵
，
，
∴
，
，
当
时，
中，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴点
移动了
（秒）．
当
时，
中，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴点
移动了
（秒）．
∴当点
移动或
秒时，
与腰垂直．
【知识点】直接用勾股求边长
