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1
圆【章节复习】压轴题-圆和动点 题集C14
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，⊙
与菱形
在平面直角坐标系中，点
的坐标为
点
的坐标为
，点
的
坐标为
，点
在轴上，且点
在点
的右侧．
求菱形
的周长．
若⊙
沿轴向右以每秒个单位长度的速度平移，菱形
沿轴向左以每秒个单位长
度的速度平移，设菱形移动的时间为（秒），当⊙
与
相切，且切点为
的中点时，
连接
，求的值及
的度数．
在（）的条件下，当点
与
所在的直线的距离为时，求的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
，
．
当
或
时，圆
与
相切．
过点
作
，垂足为
，
∵
，
，
图
∴
，
，
∴
，
∵四边形
为菱形，
∴
，
∴菱形的周长
．
如图所示，⊙
与轴的切线为
，
中点为
，
2
图
∵
，
∴
，
∵
，且
为
中点，
∴
，
，
∴
，
解得
．
平移的图形如图所示：过点
作
，
垂足为
，连接
，
为⊙
与
切点，
∵由（）可知，
，
，
图
∴
，
∴
，
∴
，
∵四边形
是菱形，
∴
，
∵
为
切线，
∴
，
∵
为
的中点，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
3
（3 ）如图所示：连接
，过点作
，垂足为
，作
，垂足为
，
图
∵四边形
为菱形，
，
∴
．
∵
、
是圆
的切线
∴
，
∵
．
∴
，
∴
，
∴
．
如图所示：连接
，过点作
，垂足为
，作
，垂足为
，
图
∵四边形
为菱形，
，
∴
，
∴
，
∵
、
是圆
的切线，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
4
【标注】
∴
．
综上所述，当
或
时，圆
与
相切．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，已知点
的坐标为
，以
为圆心，以为半径的圆与轴相交于
点
、
，与轴正半轴相交于点
，过
作
，点
为弦
上一点，
，连接
，
．
求
、
两点的坐标．
求证：
．
若点
是弧
上一动点（
点与
、
点不重合），过点
的⊙
的切线
交轴于点
，若
为直角三角形，试求出所有符合条件的点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
证明见解析．
，
，
，
．
连接
、
，如图一所示，
图一
∵点
的坐标为
，以
为圆心，以为半径的圆与轴相交于点
、
，
∴
，
，
∵
，
5
（2 ）
（3 ）
∴
，
∴点
的坐标为
，点
的坐标为
．
作
交轴于点
，如图一所示．
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
即
．
当
是直角三角形时，如图二所示，
图二
∵
，点
的坐标为
，
∴点
的坐标为
，
当
是直角三角形时，如图二所示，
∵
，点
的坐标为
，
∴点
的坐标为
，
当
是直角三角形时，如图三所示，
6
【标注】
图三
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴点
的坐标为
，
当
是直角三角形时，如图三所示，
∵
，
时，
∴点
的纵坐标是：
，
横坐标是：
，
∴点
的坐标为
，
由上可得，若
为直角三角形，所有符合条件的点
的坐标是
，
，
，
．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
3. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形
，
，一边
在轴上，另一边
在轴
上，且
，
，以
为直径作⊙
．
7
x
y
O
图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
求⊙
的直径．
⊙
沿轴向右滚动过程中，当⊙
与轴相切于点
时，求⊙
被直线
截得的线段
长．
x
y
O
图
⊙
沿轴向右滚动过程中，当⊙
与直线
相切时，求圆心
移动的距离．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
当⊙
与直线
相切时，点
移动的距离为
或
．
如图①，过
作
，
x
y
O
图
由题意知：
．
∴四边形
为矩形．
∴
，
．
8
（2 ）
（3 ）
∵
，
∴
．
在
中，根据勾股定理，得
，
∴
，
∴
，
即⊙
的直径是
．
如图②所示，当⊙
与轴相切于
时，
x
y
O
图
设⊙
与
所在直线相切于
．
易知
在
上，且
，
∴
．
连接
，
∵
为直径，
∴
．
设
，则
，
由勾股定理知
．
解得
．
∴
．
如图③所示，当⊙
与
相切时，分两种情况．
x
y
O
图
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【标注】
d第一种情况：当⊙
滚动到
时，设
，由题意易知：
，
则
，
．
∵⊙
与
、
相切于点
、
，
∴
．
∵⊙
与
、
相切于点
、
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
解得，
，
即
．
第二种情况：当⊙
滚动到
时，设
，易知：
，
则
，
，
∵⊙
与
、
相切，
∴
．
同理，
．
∵
，
∴
．
解得，
，
即
．
∴当⊙
与直线
相切时，点
移动的距离为
或
．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
