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1
圆的对称性与垂径定理 题集【A】
1. 圆的对称性
A.
条
B.
条
C.
条
D. 无数条
1.
【解析】
【标注】
圆有（ ）条对称轴．
【答案】D
无数条．
【知识点】圆中对称性
2.
【解析】
【标注】
在一块平行四边形的稻田里有一圆形的水池，为了给稻田注水，并使稻田里的水量趋于均匀，现要
从水池引一条笔直的水渠（水渠的宽度忽略不计），请你设计一种方案，使水渠两侧的稻田面积相
等，并说明你的理由．
【答案】画图见解析．
作平行四边形的对角线交于点
，
再作出圆的圆心
，过
、
作直线分别和平行四边形的一边交于
点，和圆交于
点，
沿
挖水渠即可．
【知识点】平行四边形的对称性
2
2. 垂径定理
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
下列命题是正确的有（ ）．
平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等
过同一平面内的任意三点有且仅有一个圆
半径相等的两个半圆是等弧
【答案】D
平分弦的直径垂直于弦的前提是该弦并非直径，选项
未提及，故错误；
三角形的内心是三角形内切圆圆心，故应该是到三角形各边的距离都相等，故选项错误；
过同一平面内的不在同一直线上的三点有且仅有一个圆，选项未提及非同一直线上，故错误；
故选
．
【知识点】三角形五心
2.
【解析】
如图，⊙
的直径
，
是⊙
的弦，
，垂足为
，
，则
．
【答案】
∵圆
直径
，
∴圆
半径为
，即
，
∵
，
∴
，
连接
，∵
，
∴
为
的中点，即
，
在
中，
，
，
根据勾股定理得：
，
则
．
3
【标注】【知识点】弧、弦、圆心角关系
【知识点】垂径定理以及应用
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，在半径为
的⊙
中，弦
的长为
．
求
的度数．
求点
到
的距离．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
到
的距离为
．
∵
，
，
∴
是等边三角形，
∴
．
过点
作
于点
，
则
，
在
中，
，
即点
到
的距离为
．
【知识点】圆与勾股
4. 如图，在半径为
的⊙
中，如果弦
的长为
，
，垂足为
，那么
的长
为
．
4
【解析】
【标注】
【答案】
如图，连接
，
∵弦
的长为
，
，
由垂径定理知：
，
又∵
，
∴
．
【知识点】垂径定理以及应用
【能力】推理论证能力
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
如图，已知点
，
，以点
为圆心，
为半径作圆，交轴于点
和点
，则
的
长为（ ）．
【答案】D
∵
，
，
∴
，
，
，
由勾股定理得：
，
同理
，
∴
，
故选
．
【知识点】勾股定理应用
5
【知识点】垂径定理以及应用
【能力】运算能力
A.
B.
C.
D.
6.
【解析】
【标注】
如图，
是
的直径，
是
上一点，
于点
，
，则
的长为（ ）．
O
B
A
C
D
【答案】C
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
故选．
【知识点】垂径定理以及应用
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
7.
【解析】
图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧
形门所在的圆与水平地面是相切的，
米，
米，且
、
与水平地面
都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）．
【答案】B
如图，连接
，
，交
于点
，
6
【标注】
∵
是圆
的切线，
∴
．
∵四边形
是矩形，
∵
，
设圆
的半径为
，
∴
．
．
在
中，
．
解得
米．
米．
【知识点】垂径定理以及应用
8.
【解析】
在直径为
的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽
，求油
的最大深度．
【答案】油的最大深度为
．
作
于
，交⊙
于
，
在
中，
，
∴
，
7
【标注】
∴油的最大深度为
．
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】勾股定理与实际问题
9.
【解析】
【标注】
要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为
的标准钢珠
放在小孔上，测的钢珠顶端与小孔平面的距离
（如图），求此小孔的直径．
【答案】
．
作
，交⊙
于点
，连接
．
由垂径定理得：
垂直平分
．
∴
，
．
在
中，
，
∴
．
∴
．
答：此小孔的直径为
．
【知识点】垂径定理以及应用
（1 ）
（2 ）
10. 如图是两个圆心同为
的同心圆，
是大圆上的一点，连接
与小圆相交于点
．
尺规作图，过点
作
的垂线交大圆于
，
两点（
在
的左侧，保留作图痕迹，不要求
写作图过程）．
若
，
，求小圆的半径．
8
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
如图所示：
连接
，由垂径定理可得
，
在
中，
，
，
∴
，即
，解得
．
【能力】抽象概括能力
【知识点】过一点作已知直线的垂线
【知识点】垂径定理以及应用
【思想】数形结合思想
A.
B.
C.
D.
11.
【解析】
如图所示，以
为圆心的两个同心圆中，小圆的弦
的延长线交大圆于
，若
，
，则与圆环的面积最接近的整数是（ ）．
【答案】D
∵
，
圆环
9
【标注】
又∵
，
，
∴
，
，
∴
，
最近接
，
选
．
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【思想】方程思想
【知识点】勾股定理与实际问题
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】垂径定理的推论以及应用
圆环
A. 是正方形
B. 是长方形
C. 是菱形
D. 以上答案都不对
12.
【解析】
【标注】
如图所示，圆
的弦
垂直平分半径
，则四边形
（ ）．
【答案】C
由垂径定理知，
垂直平分
，
即
与
互相垂直平分，
所以四边形
是菱形．
故选．
【知识点】菱形的判定-从四边形
【知识点】垂径定理以及应用
【能力】推理论证能力
13. 如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为
，水面到管道顶部距离为
，则修理工应准备内直径是多少
的管道．
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【解析】
【标注】
【答案】修理工应准备内直径是
的管道．
如图，
，
，
∵
，
∴
为
的中点，即
，
设
，
，
，
在
中，
．
则
则直径为
．
答：修理工应准备内直径是
的管道．
【能力】分析和解决问题能力
【知识点】垂径定理以及应用
A.
B.
C.
D.
14.
方法一：
方法二：
【解析】
半径等于
的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）．
【答案】B
∵垂直平分半径，
∴弦心距离为
，
∴根据勾股定理弦长为
．
故选．
如图，
11
【标注】
，则
，
根据勾股定理可得，弦的一半
，
∴弦
．
故选．
【能力】推理论证能力
【知识点】垂径定理以及应用
15.
【解析】
【标注】
如图，⊙
的直径
垂直弦
于点
，且
，
，则
的长为 ．
【答案】
⊙
的直径
垂直弦
于点
，
，
∴
，
．
设圆的半径为，
则在
中，
,
即
，
解得：
．
∴
．
【知识点】垂径定理以及应用
16.
12
【解析】
【标注】
“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大
小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”用数学语言可表述为：如图，
为⊙
的直
径，弦
于
，
寸，
寸，直径
的长为 寸．
【答案】
连接
．
∵
为⊙
的直径，弦
，
，
∴
，
设⊙
的半径为，则
，
在
中，
，
∴
，
解得
，
∴
．
【知识点】垂径定理以及应用
