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圆【章节复习】压轴题-圆和二次函数 题集C27
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，顶点为
的抛物线交轴于
点，交轴于
，
两点（点
在点
的左侧），已知
点坐标为
．
求此抛物线的解析式．
过点
作线段
的垂线交抛物线于点
，如果以点
为圆心的圆与直线
相切，请判断抛
物线的对称轴与⊙
有怎样的位置关系，并给出证明．
已知点
是抛物线上的一个动点，且位于
，
两点之间，问：当点
运动到什么位置时，
的面积最大？并求出此时
点的坐标和
的最大面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
相交，证明见解析．
的面积最大为
，此时，
点的坐标为
．
设抛物线为
，
∵抛物线经过点
，
∴
，
．
∴抛物线为
．
相交．
连接
，则
，
当
时，
，
．
2
（3 ）
【标注】
，
，
，
对称轴
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，即
，解得
，
∵
，
∴抛物线的对称轴与⊙
相交．
如图，过点
作平行于轴的直线交
于点
．
可求出
的解析式为
．
设
点的坐标为
，
则
点的坐标为
．
∴
．
∵
．
∴当
时，
的面积最大为
．
此时，
点的坐标为
．
【知识点】二次函数与面积
2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形
是以
为直径的⊙
的内接四边形，点
，
在轴
上，
是边长为的等边三角形，过点
作直线与轴垂直，交⊙
于点
，垂足为点
，且
点
平分
．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求过
，
，
三点的抛物线的解析式．
求证：四边形
是菱形．
请问在抛物线上是否存在一点
，使得
的面积等于定值？若存在，请求出所有的点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
存在，点
坐标为
，
．
由题意可知
为等边三角形，点
，
，
，
均在⊙
上，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
，
，
．
∵抛物线顶点
的坐标为
，
设函数解析式为
（
），
把点
代入
，
解得
，
∴二次函数解析式为
．
连接
，
∵
为等边三角形，
∴
，
∴
．
4
（3 ）
【标注】
∵点
平分弧
，
∴
．
∵
，
∴
，
是等边三角形，
∴
，
∴四边形
为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）．
存在．理由如下：
设点
的坐标为
．
∵
，
，
∴
，即
，解得
．
当
时，
，
解此方程得
，
．
即点
的坐标为
，
．
当
时，
，
此方程无解．
∴所求点
坐标为
，
．
【知识点】二次函数与圆的综合问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 如图，已知：抛物线
与轴交于
、
两点，与轴负半轴交于点
，且
，
．
是线段
上的一个动点，过点
作
的垂线交
的延长线于
点
．
求抛物线的解析式．
若
，求证：
是
的角平分线．
当点
由点
运动到点
时，点
也随之运动，则点
所走的路线长为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
证明见解析．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（3 ）
．
延长
、
交于点
，
∵
，
∴
、
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
（8字倒角），
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中
，
∴
≌
，
∴
，
即
是
的角平分线．
点
在以
为直径的圆上运动，
点
从
运动到
，
所运动的弧所对的角度为
，
轨迹长为
．
【知识点】二次函数与动点问题
