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1
圆【章节复习】压轴题-最值问题 题集C16
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，正
内接于⊙
，⊙
的面积记为
，
的面积为
．以圆心
为顶点作
，使得
，且
、
分别与⊙
交于点
、
，分别与
的边
、
交于点
、
．设由
、
、弧
及正
的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为．现将
绕点
旋转，始终保持点
在弧
上，问：
当
经过点
时（如图所示），则、
、
之间的关系为：
（用含
、
的
代数式表示）．
当
为弧
的中点时，（）中的结论仍然成立，问：当
在弧
的任意位置时，（）中
的结论仍然成立吗？请说明理由．
当
在弧
的任意位置时，分别取
、
的中点
、
，连结
，若⊙
的半径为，
试求出
面积的最大值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
有最大值
．
．
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
连接
、
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
≌
，
又∵
，
∴
，
∴
．
作
，垂足为
，
设
，
由半径为得
，
∴
，
∵
≌
，
∴
，
∴
，
∴
，
当
时，
有最大值
．
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【知识点】圆与全等
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
扇形
扇形
2. 如图，⊙
是四边形
的外接圆，
，
与
相交于点
，
，
．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
求⊙
的半径．
求
的长．
若
为弦
上的一个动点，过点
作
，
，
与
相交于点
，
与
相交于点
．试问四边形
的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不
存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
⊙
的半径为
．
．
四边形
的面积存在最大值为
．
连接
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴在
中，
①，
②，
由①②，可得：
，
解得：
，
∴
．
4
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴⊙
的半径为
．
连接
，
交于点
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
设
，则
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴四边形
的面积存在最大值为
．
【知识点】圆与相似
平行四边形
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 如图，⊙
的半径为，
、
、
、
是⊙
上的四个点．
．
备用图
判断
的形状．
试探究线段
，
，
之间的数量关系，并证明你的结论．
当点P位于
的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
为等边三角形．
．
当点
为
的中点时，四边形
面积最大，
．
为等边三角形．
在⊙O中 ∵
与
是
所对的圆周角，
与
是
所对的圆周角，
∴
=
，
=
，
又∵
=
，
∴
=
，
∴
为等边三角形．
．
如图，在
上截取
，连接
．
∵
，
∴
是等边三角形．
图
∴
，
，
又∵
，
∴
．
∵
，
∴
≌
．
∴
．
∵
，
∴
．
当点
为
的中点时，四边形
面积最大．
理由如下：如图，过点
作
，垂足为
，
过点
作
，垂足为
．
四边形
6
【标注】
图
∵
，
．
∴
．
当点
为
的中点时，
，
为⊙
的直径．
∴此时四边形
面积最大．
又∵⊙
的半径为，
∴其内接正三角形的边长
．
∴
．
【知识点】圆内接四边形综合
四边形
