文档文本内容
1
【弦图的构造和应用】题集【B】
1. 弦图变形的拓展
十字模型
正方形中“十”字：有相等能证垂直，有垂直能证相等.（前提：题干中给出图形）
（1）正方形
中，
，则可证：
证明方法1：
平移后证
证明方法2：
作垂证
（2）正方形
中，
，则可证：
(证法同上)
【注意】：
①“十字模型”——前提条件：对边取点连线
反例：如图：虽然
，但由于
并不是对边取点所连线段，所以
并不一定等于
≌
≌
2
②“十字模型”——前提条件：题干给出图形，
才会有已知相等证出垂直，若没有图形，不一定垂直，如下图的
和
双正方形模型（三垂综合应用）
以
的
、
边向外分别作正方形
、
，
，
反向延长线交
于
，则点
为
中点，
．
【辅助线】利用一线三垂直解题：
①过点
作
于
，过点
作
的延长线于点，
②易证
≌
，
≌
，从而得到
，
③利用
推出
≌
，从而得到点
为
中点，
，
④根据
，
，
，可推出
．
3
【变形】若条件变成
，
反向延长线交
于
，则点
为
中点，
．
（1 ）
（2 ）
1. 在学习了正方形后，数学小组的同学的正方形进行了研究，发现：
如图，在正方形
中，点
为
边上任意一点（点
不与
，
重合），点
在线段
上，过点
作直线
，分别交
，
于点
，
，求证：
．同学
们发现，过点
作
，交
于
，构造平行四边形
，经过推理能够使问题
得到解决（如图）请你完成证明过程．
如图，当点
为
中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线
，
与
交于点
，连接
，求证：
．
4
（1 ）
（2 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵在正方形
中，
，
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
连接
，
，
，
由正方形对称性可得，
≌
，
∴
，
，
∵
，
为
的中点，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵四边形
内角和为
，
∴
，
，
在
和
中，
∴
，
，
5
【标注】
∴
．
【能力】抽象概括能力
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】全等三角形的判定
【知识点】正方形的性质
【知识点】平行四边形性质综合应用
【知识点】平行四边形的判定及应用
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，发现：
如图，在正方形
中，点
为
边上任意一点（点
不与
、
重合），点
在线段
上，过点
的直线
，分别交
、
于点
、
．此时，有结论
，请进行证明．
图
如图，当点
为
中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线
，
与
交于点
，连接
，此时有结论：
，请利用图做出证明．
图
如图，当点
为直线
上的动点时，如果（）中的其他条件不变，直线
分别交直线
、
于点
、
，请你直接写出线段
与
之间的数量关系、线段
与
之间的
数量关系．
6
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
，
．
在图中，过点
作
交
于
，则
图
∵在正方形
中，
∴
，
，
，
∴四边形
是平行四边形且
，
∵
，
∴
，
∵
、于
， ∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
≌
，
∴
．
在图中连接
、
、
，
7
（3 ）
【标注】
图
由正方形的轴对称性
≌
，
∴
，
，
∵
于
，
为
中点，
∴
，
∴
，
，
∴
，
由图可知
，
∴
，
又∵四边形
的内角和为
，
，
∴
．
在
和
中，
为斜边，
为
中点，
∴
，
，
∴
．
与
的数量关系是：
．
与
的数量关系是：
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
3. 已知正方形
，点
，
分别在射线
，射线
上，
，
与
交于点
．
如图，当点
，
分别在线段
，
上时，则线段
与
的数量关系是 ，位置
关系是 ．
8
1
2
（2 ）
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
如图，当点
在线段
延长线上时，将线段
沿
进行平移至
，连接
．
依题意将图补全．
在点
运动的过程中，线段
，
，
的长度始终有一个成立的等量关系．请猜
想该等量关系_________，并证明这个关系．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
;
画图见解析．
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
∵
，
在
和
∴
≌
∴
，
∴
，
∵
，
∴
∴
．
补全如图：
9
2
【标注】
连接
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
4. 根据图解答下列各题：
10
（1 ）
（2 ）
（3 ）
图
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
图
图
如图，正方形
中，
、
分别是
、
边上的点，满足
．求证：
．
如图，正方形
中，
、
、
分别是
、
、
边上的点，满足
，若
，则
．
如图，正方形
中，
、
、
分别是
、
、
边上的点，满足
，连
接
．求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵正方形
，
∴
，
．
∵
，
∴
，
∴
．
又∵
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
过点
作
交
于
，
∵正方形
，
∴
，
，
．
∵
，
，
11
（3 ）
∴四边形
为平行四边形，
∴
．
又∵
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
，
又∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
过点
作
交
延长线于
，连接
．
∵正方形
，
∴
，
，
．
∵
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
．
又∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
在
和
，
，
∴
≌
，
∴
．
又∵
，
∴
．
在
中，
，
∴
．
12
【标注】
在
中，
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
【解析】
分别以
的边
、
为边，向三角形的外侧作正方形
和正方形
，
，
的反向延长线交
于点
．求证：
为
的中点．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
证明见解析．
图
图
法一：如图，分别过
、
作
的垂线，垂足为
、
．
由弦图模型知
≌
，
∴
，
，
，
13
（2 ）
同理可证
，
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
，
，
∴
为
的中点．
法二：如图，在
上截取
，连接
．
易证
≌
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
，
，
∴
为
的中点．
法一：如图，分别过
、
作
的垂线，垂足为
、
．
由弦图模型知
≌
，
∴
，
，
，
同理可证
，
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
，
，
∴
为
的中点，
．
法二：如图，在
上截取
，连接
．
易证
≌
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
，
，
∴
为
的中点，
．
14
（3 ）
图
图
法一：如图，分别过
、
作
的垂线，垂足为
、
．
由弦图模型知
≌
，
∴
，
，
，
同理可证
，
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
，
，
∴
为
的中点，
，
．
法二：如图，在
上截取
，连接
．
易证
≌
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
，
，
∴
为
的中点，
，
．
图
图
15
【标注】【知识点】弦图
【知识点】全等三角形的性质
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】全等三角形的周长与面积
【知识点】对应边
【知识点】正方形的性质
【知识点】垂线的性质
【能力】推理论证能力
6.
【解析】
如图，以
的边
、
为边向外作正方形
和正方形
，
，垂足为点
，交
于点
．求证：
．
【答案】见解析．
过点
作
的延长线于
，过点
作
于
，如图所示：
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
，
在
和
中，
∴
≌
，
∴
，同理可得：
，
∴
，
在
和
中，
∴
≌
，
∴
．
16
【标注】【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7.
方法一：
（1 ）
【解析】
如图，向
的外侧作正方形
、正方形
．过
作
于
，
的反向延长
线与
交于
．求证：
．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
证明见解析．
过点
、
分别作
的垂线，垂足为
、
．
在
和
中，
∵
，
，
∴
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
同理
≌
，
17
方法二：
方法一：
（2 ）
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
延长
至点
，使得
，连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
同理，
，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
∵
≌
，
∴
，
∴
，
即
．
18
方法二：
方法一：
方法二：
（3 ）
延长
至点
，使得
，连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
同理，
，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，即
．
．
延长
至点
，使得
，连接
，
19
【标注】
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
同理，
，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
8.
方法一：
【解析】
已知如图，分别以
的边
、
为边作正方形
、
，过
作
，交
于
，交
于
，求证：
．
【答案】证明见解析．
如图，以
为原点建立直角坐标系，
设
，
，
，
构造三垂直模型，
易得：
，
，
由于
，
故
为
中点．
20
方法二：
【标注】
分别过
，
作
延长线的垂线，垂足为
，
，
易得：
≌
，
≌
，
，
，
，
易得：
≌
，
∴
．
【知识点】三垂直模型
