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1
弦切角定理 题集【B】
1.
【解析】
【标注】
已知：如图，
与圆
相交于
、
，
，
、
为圆
的切线，
、
为切点．求
证：
平分
．
【答案】证明见解析．
，
∴
，
过点
作
的平行线，交
的延长线于点
，
由弦切角定理，
，
∴
，
，
∴
≌
，
．
【知识点】圆与全等
2. 如图，四边形
是⊙
的内接四边形，
是弧
的中点，过
点的切线与
的延长线交于点
．
2
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
．
若点
在
延长线上运动，点
在弧
上运动，使切线
变为割线
，其他条件不
变，问具备什么条件使原结论成立．（要求画出示意图注明条件，不要求证明）
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
，或
，或
，或
，或
等．
易证
∽
．
此题第
小题是一道条件探索性问题其解法是“执果索因，要得到
，即要得
，已有条件
，还需增加条件：
，或
，或
，或
，或
等．
故答案为：
，或
，或
，或
，或
等．
【知识点】圆内接四边形综合
（1 ）
（2 ）
3. 在
中，
是直径，弦
于
，过
延长线上一点
作
的切线，切点为
，连接
交
于点
．
如图所示，求证：
；
如图所示，若
，
，
，求
的半径．
3
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连
，
，
由弦切角定理，
且
，
∴
，
∴
．
连接
、
，∵
，∴
，∴
，
设
，
，
，∵
且
，
∴
，∴
，
由勾股定理
，得
，
在
中，
，
，
，
由勾股定理
，得
．
【知识点】圆与勾股
4. 如图，已知：
和
外切于点
，
过点
交
于
，交
于
，
是
和
的公
切线，
、
为切点，
、
的延长线交于
．
4
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
；
求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
如图，过点
作两圆的内公切线
交
于点
．
∵
是
的两条切线，∴
．
同理
．∴
，即
．
由弦切角定理，有
，
．
∵
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】弦切角定理的应用
（1 ）
5. 如图，已知⊙
与⊙
相交于点
、
，过点
作⊙
的切线交⊙
于点
，过点
作两圆的割线
分别交⊙
、⊙
于点
、
，
与
相交于点
．
求证：
．
5
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
若
是⊙
的切线，且
，
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
．
∵
是⊙
的切线，
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
．
∵
是⊙
的切线，
∴
．
即
，
解，得
，
（舍去）．
又
是⊙
的切线，
∴
，
即
．
【知识点】弦切角定理的应用
（1 ）
6. 尺规作图是平面几何的瑰宝，有的尺规作图简单而精美，令人叹为观止，请看下面两种切线的作
法，并回答下列问题．
过圆外一点
作圆
切线（如图）
①以
为圆心，
为半径作圆（大圆）
②连接
，与小圆
交于点
，
延长线与大圆
交于点
③以
为圆心，
为半径作圆与
交于点
④以
为圆心，
为半径作圆与大圆
交于点
⑤连接
求证：
是小圆
的切线．
6
O
P
O
A
B
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
过圆上一点
作圆
切线（如图）
①在圆
上任选一点
，以
为圆心，
为半径作圆与圆
交于另一点
②以
为圆心，
为半径作圆与圆
交于点
③连接
求证：
是圆
的切线．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
过
作
，垂足为
，连接
，
小圆
半径，
易得
，
．
O
如图作辅助线，
7
【标注】
由圆周角定理：
，
由弦切角逆定理可证
是圆
切线．
P
O
A
B
【知识点】弦切角定理的应用
A. 点
是
的外心
B.
C.
D.
7.
【解析】
如图，
中，内切圆
和边
、
、
分别相切于点
，
，
，则以下四个结论中，错
误的结论是( )．
【答案】D
、点
是
的内心，
，
点
也是
的外心，
该选项正确；
、
（弦切角定理），
在
中，
，
同理
，
，即
在四边形
中，
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【标注】
，
，
即
，
，
故该选项正确；
、
（弦切角定理），
在
中，
，
由上面选项知：
，
故该选项正确；
故选
．
【知识点】作三角形的外接圆
8.
【解析】
如图所示，在
中，
，点
是
的中点，
平分
交
于点
，点
是
上一点，⊙
过
、
两点，交
于点
，交
于点
，连接
、
．若
，
，则下列四个结论中正确的结论序号为 ．
（）
；
（）
；
（）
；
（）
．
图
【答案】（）、（）、（）
（）作
于点
，如图所示，
9
图
∵
平分
，
又
，
，
∵
为圆的内接四边形
的外角，
∴
，
∴
≌
（
），
∴
（正确）．
（）如图所示，
图
由三角形内角平分线定理得，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
（正确）．
（）连接
，如图所示，
图
∵
，
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【标注】
∴
，
∵
，
∴
，
∴⊙
与
相切，
由弦切角定理得
，
∵
，
∴
（错误）．
（）∵
≌
，
≌
，
∴
（正确）．
【知识点】圆与全等
9.
【解析】
如图所示，在等腰
中，
，以
为直径的⊙
交
于点
，
的延长线交
于点
，过点
作⊙
的切线交
于点
．下列四个结论中正确的结论序号为 ．
；
；
；
．
【答案】
、
、
连接
，如图所示．
由弦切角定理得，
，
∵
，
11
∴
，
∴
，
∴
，
故
正确；
由切割线定理得，
，
由切线长定理得，
．
∵
为直角三角形，
∴
，
∴
，
故
正确；
如图所示，
设
，
，
∴
，
若
，则
，
∵
，
∴
，
∴
，
故
错误；
连接
，如图所示．
∵
，
又
，
∴
，
∴
，
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【标注】
∴
，
∴点
为线段
的黄金分割点，
∴
，
故
正确．
故答案为
．
【知识点】圆与相似
