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1
垂径定理的综合运用 题集【A】
1. 利用垂径定理求线段长
1.
【解析】
【标注】
如图，
是⊙
的直径，弦
和
的交角
，
，
，则
．
【答案】
如图，过点
作
，垂足为
，则
，
∵
，
∴
，则
，
．
【知识点】垂径定理以及应用
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
如图，在
中，
，
，
，以点
为圆心，
长为半径的圆与
交于点
，则
的长为（ ）．
【答案】C
过点
作
于点
，
则
，
，
，
，
2
【标注】
，
，
，
，
．
【知识点】垂径定理以及应用
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
为
的直径，
为弦，
于
，
于
．
O
M
A
C
D N
B
求证：
．
若
，
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
.
过点
作
于点
，
O
M
A
C
D N
B
E
∵
，
∴
．
∵
于
，
于
，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
是梯形
的中位线，
3
（2 ）
【标注】
∴
，
∴
，即
.
连接
，
∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵由（）知
是梯形
的中位线，
∴
.
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
【知识点】垂径定理以及应用
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
如图，⊙
过点
、
，圆心
在等腰直角
的内部，
，
，
，则
⊙
的半径为（ ）．
【答案】B
连接
并延长，交
于
，连接
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
是等腰直角三角形，
∴
，
4
【标注】
∴
，
∴
，
故选．
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
【知识点】勾股定理与实际问题
【知识点】垂径定理以及应用
5.
【解析】
如图，
是⊙
的弦，
是
上一点，
，
，
，则
．
【答案】
过点
作
于
，
∵
，
，
，
5
【标注】
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】垂径定理以及应用
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图是一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度
为
米，拱高
为米，求：
桥拱的半径．
若大雨过后，桥下河面宽度
为
米，求水面涨高了多少？
【答案】（1 ）
（2 ）
桥拱的半径为
．
水面涨高了米．
∵
，
设
为
，则
为
，
∵
，
，
∴
，
∴在
中，
，
解得：
，
∴
，
，
∴
．
连接
，设
交
于点
，
∵
，
为
的半径，
∴
，
6
【标注】
又∵
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
即水面涨高了米．
【知识点】圆与勾股
A.
B.
C.
D.
7.
【解析】
如图，⊙
的半径
弦
于点
，延长
交⊙
于点
，连接
．若
，
，则
的长是（ ）．
【答案】D
连结
，设⊙
的半径为
，如图，
∵
，
∴
，
在
中，
，
，
7
【标注】
∵
，
∴
，解得
，
∴
，
∴
，
∵
为直径，
∴
，
在
中，
．
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
【思想】方程思想
【知识点】中位线定理及其应用
【知识点】勾股定理与实际问题
【知识点】垂径定理以及应用
2. 求线段范围或最值
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，已知：在⊙
中，弦
的长为，圆心
到
的距离为．
求⊙
的半径．
若点
是
上的一动点，试求
的范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
作
于点
，
∵圆心
到
的距离为，
∴
，
∵弦
的长为，
∴
，
∴
．，
8
（2 ）
【标注】
∴⊙
的半径为．
∵点
是
上的一动点，
∴
．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图所示，同心圆中的大圆半径为，小圆半径为，若大圆的弦
与小圆有公共点，则
的最小
长度是（ ）
【答案】D
如图，当
与小圆相切时有一个公共点
，此时
取最小值，
连接
，
，可得
，
∴
为
的中点，即
，
在
中，
，
，
∴
，
∴
，
故选
．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
3. 如图，已知
的半径是，点
到圆心
的距离为，求过点
的所有弦中最短弦的长度和最长弦的
长度．
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【解析】
【标注】
【答案】最短为，最长为
．
连结
，过
点作
的垂线交⊙
于
、
两点，则弦
即为最短弦．
连结
，由垂径定理得
．
在
中，
，
，
，
∴
，
最长弦即过点
的直径，长度为
．
【知识点】垂径定理以及应用
A.
B.
C.
D.
4. 在平面直角坐标系中，以原点
为圆心的圆过点
，直线
与⊙
交于
，
两点，则弦
的长的最小值为（ ）．
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【解析】
【标注】
【答案】D
直线
必过点
，
∴最短的弦
是过点
且与该圆直径垂直的弦．
∵点
的坐标是
，
∴
．
∵以原点
为圆心的圆过点
，
∴圆的半径为
，
∴
，
∴
，
∴
的长的最小值为
．
【知识点】一次函数与圆的综合问题
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
如图，
为⊙
内一定点，
为⊙
上一个动点，射线
、
分别与⊙
交于
、
两点．若⊙
的半径长为，
，则弦
的最大值为（ ）．
【答案】A
过点
作
于
，如图：
∵
为圆心，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴当
、
重合时，即
垂直
时，
取最大值，
最大值为
．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
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6.
【解析】
【标注】
如图，
中，
，
，
，
为
上一点，以
为直径作圆，与
、
交于点
、
，则
长度的最小值为 ．
【答案】
略．
【知识点】垂径定理以及应用
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
7.
【解析】
如图，已知⊙
的半径为，弦
，则⊙
上到弦
所在直线的距离为的点有（ ）．
【答案】C
如图：∵
，
，
，
∴
，
∴点
是圆上到
距离为的点，
∵
，
∴在
上截取
，
过点
作
，交圆与点
，
两点，
则有
，
，
即点
，
到
的距离为
，
∴点
，
也是圆上到
的距离为
的点．
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【标注】
故正确．
【知识点】垂径定理以及应用
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
8.
【解析】
【标注】
已知⊙
的半径为，直线与⊙
相交，点
到直线的距离为，则⊙
上到直线的距离为
的点
共有（ ）．
【答案】D
∵⊙
的半径为，点
到直线的距离为，
∴
，
过点
作
，垂足为
，
交⊙
于
、
两点，且
，
∴⊙
上到直线的距离为
的点在直线的左边和右边各有两个，共四
个，
故答案为
．
【知识点】根据直线与圆的位置关系求解
9.
【解析】
【标注】
点
是半径为的⊙
内一点，且
，在⊙
中，过点
所有的弦中，使得弦长为整数的值
有 个，使得弦长为整数的弦共有 条．
【答案】 ;
过点
所有的弦中，弦长最短为
因为半径为，所有弦长最长为10
所以使得弦长为整数的值为、、、、
，共有个
弦长为，有个
弦长为，有个
弦长为，有个
弦长为，有个
弦长为
，有个
所以，使得弦长为整数的弦共条．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
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3. 找圆心
1.
【解析】
【标注】
如图在平面直角坐标系中，过格点
，
，
作一圆弧，圆心坐标是 ．
【答案】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦
和
的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是
．
【知识点】垂径定理以及应用
A. 点
B. 点
C. 点
D. 点
2.
【解析】
如图，在
的正方形网格中，一条圆弧经过
，
，
三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（
）．
【答案】B
作
的垂直平分线，作
的垂直平分线，如图，
它们都经过
，所以点
为这条圆弧所在圆的圆心．
故选．
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【标注】【知识点】垂径定理的推论以及应用
【知识点】垂径定理以及应用
4. 典型的分类讨论
A.
B.
C.
或
D.
1.
【解析】
【标注】
已知⊙
的半径是
，弦
，
，
，则
与
的距离是（ ）．
【答案】C
过
作
于
，交
于
，连接
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴由勾股定理得
，
，
∴
或
．
【知识点】垂径定理以及应用
A.
B.
或
C.
D.
或
2. 在半径为
的圆中有一条长度为
的弦，则该弦所对的圆周角的度数是（ ）．
【答案】B
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【解析】
【标注】
如图：
∵半径为
，长度为
的弦，
∴这条弦和两条半径组成了一个等边三角形，
∴该弦所对的圆心角是
，
①当圆周角的顶点在优弧上时，得此圆周角等于
；
②当圆周角的顶点在劣弧上，得此圆周角等于
．
故选：．
【知识点】圆周角定理以及应用
A.
B.
C.
或
D.
或
3.
【解析】
【标注】
已知⊙
的半径为
，圆心
到弦
的距离为，则弦
所对的圆周角的度数是（ ）．
【答案】D
由图可知，
，
，
在
中，
∵
，
，
，
∴
，
，
同理可得
，
∴
，
∴圆周角的度数是
或
．
【知识点】圆周角定理以及应用
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4.
【解析】
【标注】
已知半径为的⊙
中，弦
，弦
，则
的度数为 ．
【答案】
在⊙
中，
，
，可得
为等腰直角三角形，即
，
又∵弦
，故
为直径，
∴
．
【知识点】圆的定义
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
5.
【解析】
【标注】
如图，
的半径为，
是
的一条弦，且
，则弦
所对圆周角的度数为（ ）．
【答案】A
或
.
【能力】运算能力
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】圆周角定理以及应用
