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1
圆【章节复习】压轴题-新定义 题集C33
（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
1. 设平面内一点到等边三角形中心的距离为，等边三角形的内切圆半径为，外接圆半径为
．对于
一点与等边三角形，给出如下定义：满足
的点叫做等边三角形的中心关联点，在平面直角
坐标系
中，等边
的三个顶点的坐标分别为
，
，
．
已知点
，
，
．在点
，
，
中，是等边
的中心关联
点的是 ．
如图．
图
过点
作直线交轴正半轴于点
，使
．若线段
上存在等边
的中心关联点
，求
的取值范围．
将①中直线
向下平移得到直线
，当满足什么条件时，直线
上总存在等边
的中心关联点．（直接写出答案，不需过程）
如图，点
为直线
上一动点，
的半径为
．当点
从点
出发，以每秒
个单位的速度向右移动，运动时间为秒．是否存在某一时刻，使得
上所有点都是等边
的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意得得值；如果不存在，请说明
理由．
图
【答案】（1 ）
、
2
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
1
2
（2 ）
（3 ）
．
．
或
．
由题意
，
，点
是
的中心，
∵
，
，
，
∴点
、
是
的中心关联点．
由题意，线段
上存在
是
的中心关联点，
则位于图中两圆之间的环形部分，
因此成立的为线段
的部分，
连接
，易知
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
为等边三角形，
∴
．
易得
，
∴点
的坐标为
．
∵
，
∴
为
的中点，
∴
的横坐标为
，
即
．
将
向下移动，
如图，当
与⊙
相切时，达到临界点．
设切点为
，则
，
3
（3 ）
【标注】
∴
，
此时
．
故当
时，直线
上总存在等边
的中心关联点．
或
．
理由如下：
由题意当⊙
运动到两圆之间，并且恰与两圆相切时，符合题意．
如图
，
所在位置即为所求．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
同理
．
【知识点】与三角形有关的新定义
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
图
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知边长为
的正方形
，对角线
、
交于点
，对于平面内的点
与正方形
，
给出如下定义：如果
，则称点
为正方形
的“关联点”．
在平面直角坐标系
中，若
，
，
，
．
在
，
，
中，正方形
的“关联点”有 ．
已知点
的横坐标是
，若点
在直线
上，并且
是正方形
的“关联点”，
求
的取值范围．
若将正方形
沿轴平移，设该正方形对角线交点
的横坐标是，直线
与
轴、轴分别相交于
、
两点．如果线段
上的每一个点都是正方形
的“关联
点”，求的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
、
，
．
．
由题意正方形
的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆
上的点）
观察图象可知：正方形
的“关联点”为
，
．
作出正方形
的内切圆和外接圆，
∴
，
．
∵
是正方形
的“关联点”，
5
（3 ）
∴
在正方形
的内切圆和外接圆之间，
∵点
在直线
上，
∴点
在线段
上．
分别做
轴，
轴，
∵
，
，
∴
，
．
∴
．
根据对称性，可以得出
．
∴
，
．
∵
、
，
∴
，
．
∴
．
∵线段
上的每一个点都是正方形
的“关联点”，
①
与小⊙
相切于点
，如图：
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
②
落在大⊙
上，如图：
6
【标注】
∵
，
，
∴
．
∴
．
综上：
．
【知识点】圆内接四边形综合
1
2
（1 ）
（2 ）
3.
1
（1 ）
【解析】
在平面直角坐标系
中，对于点
和图形
，给出如下的定义：若在图形
上存在一点
，使得
、
两点间的距离小于或等于，则称
为图形
的关联点．
当⊙
的半径为时：
在点
，
，
中，⊙
的关联点是 ．
点
在直线
上，若
为⊙
的关联点，求点
的横坐标
的取值范围．
⊙
的圆心在轴上，半径为，直线
与轴、轴交于点
、
．若线段
上的
所有点都是⊙
的关联点，直接写出圆心
的横坐标
的取值范围．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
和
或
．
或
．
根据定义⊙
的关联点所在的区域是如图的环形，点
在环形内，点
在小圆上，点
在环形外，故⊙
的关联点是
和
．
7
2
（2 ）
∵点
在直线
上，
∴
．
若点
在小圆上，
，则
，
解得
．
若点
在大圆上，
，则
，
解得
，
∴点
横坐标的取值范围是
或
．
直线
与轴交点
与轴交点
．
当点
落在大圆上右侧时，
，
∵
，
∴
．
当
与小圆右侧相切时，
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
当点
落在小圆左侧时，
，
∵
，
∴
．
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【标注】
当点
落在大圆左侧时，
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
综上所述，圆心
的横坐标
的取值范围是
或
．
【知识点】两圆位置关系综合题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 在平面直角坐标系
中，对于半径为
的⊙
和点
,给出如下定义：若
，则
称
为⊙
的“近外点”．
当⊙
的半径为时，点
，
，
，
中，⊙
的“近外点”
是 ．
若点
是⊙
的“近外点”，求⊙
的半径的取值范围．
当点
的坐标为
，⊙
的半径为时，直线
（
）与轴交于点
，与
轴交于点
，若线段
上存在⊙
的“近外点”，直接写出的取值范围．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
、
．
或
．
由题意可知．
∵
， ∴
，
∴
， ∴
，
即⊙
的半径的取值范围是
．
依题可知，⊙
的近处点在半径为和半径为的圆上及这两个圆组成的圆环上，
称这部分的圆形为
，线段
上存在⊙
的近处点，
即线段
与圆形
有交点，直线
，则
．
如图所示
当
与大⊙
相切时，
， 则
,
，
当
过
时，
，
，
同理可知，
，
，
故的取值范围为
或
．
【知识点】与圆有关的新定义
