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1
圆【章节复习】压轴题-新定义距离类 题集C32
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
在平面直角坐标系
中，点
的坐标为
，点
的坐标为
，若
，
，则记作
．
已知
，且点
，点
，求，的值．
点
，
，
，且
，求符合条件的点
的坐标．
⊙
的半径为
，点
在⊙
上，点
在直线
上，若
，且
，
，求
的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
，
，
，
．
．
∵
，
，
，
∴
．
∵
，
，
，
，
设
，
，
，
，
或
，
即
点坐标为
或
或
或
．
∵
，
，
，
2
【标注】
∴直线解析式可设为
或
．
∵直线
与直线
平行，故不存在交点．
∴只需直线
与⊙
有交点，
当
与⊙
相切，
,
，
．
同理，可求
．
即
．
故直线
或
．
联立
，解得
．
联立
，解得
．
即
的取值范围为
．
【知识点】圆与平面直角坐标系
2. 在平面直角坐标系
中，对于任意两点
与
的“非常距离”，给出如下定义：
若
，则点
与点
的“非常距离”为
；
若
，则点
与点
的“非常距离”为
．
例如：点
，点
，因为
，所以点
与点
的“非常距离”为
，也就是图中线段
与线段
长度的较大值（点
为垂直于轴的直线
与垂直
于轴的直线
的交点）．
3
1
2
（1 ）
1
2
（2 ）
图
已知点
，
为轴上的一个动点．
若点
与点
的“非常距离”为，写出一个满足条件的点
的坐标．
直接写出点
与点
的“非常距离”的最小值．
已知
是直线
上的一个动点 ．
如图，点
的坐标是
，求点
与点
的“非常距离”的最小值及相应的点
的坐
标．
图
如图，
是以原点
为圆心，为半径的圆上的一个动点，求点
与点
的“非常距
离”的最小值及相应的点
和点
的坐标．
图
【答案】
1
2
（1 ）
点
的坐标是
或
．（写出一个答案即可）
点
与点
的“非常距离”的最小值是
．
4
1
2
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
1
2
（2 ）
①点
的坐标是
，点
与点
的“非常距离”最小，最小值为
．
点
的坐标是
，点
的坐标是
时，点
与点
的“非常距
离”最小，最小值是．
点
的坐标是
或
．（写出一个答案即可）
点
与点
的“非常距离”的最小值是
．
过点
作轴的垂线，过点
作的垂线，两条垂线交于点
，连结
．
如图，当点
在点
的左上方且使
是等腰直角三角形时，点
与点
的“非常
距离”最小．理由如下：
记此时
所在位置的坐标为
．
∵点
与
的“非常距离”是线段
与线段
长度的较大值，当点
的横坐标大于
时，线段
的长度变大，
∴点
与点
的“非常距离”变大；
当点
的横坐标小于
时，线段
的长度变大，
∴点
与点
的“非常距离”变大．
当点
的横坐标等于
时，
∴点
与点
的“非常距离”最小．
∵
，
，
，
∴
．
解得
．
∵点
的坐标是
，
∴
．
∴点
的坐标是
，
点
与点
的“非常距离”最小，最小值为
．
图
5
2
如图，对于⊙
上的每一个给定的点
，过点
作轴的垂线，过点
作轴的垂线，
两条垂线交于点
，连结
．
由①可知，当点
运动到点
的左上方且使
是等腰直角三角形时，
点
与点
的“非常距离”最小．
当点
在⊙上运动时，求这些最小“非常距离”中的最小值，只需使
的长度最小．
因此，将直线
沿图中所示由点
到点
的方向平移到第一次与⊙
有公共
点，
即与⊙
在第二象限内相切的位置时，切点即为所求点
．
作
轴于点．设直线
与轴，轴分别交于点
，
．
可求得
，
，
，
可证
，
∴
，
∴
，
∴
，
．
∴点
的坐标是
．
设点
的坐标是
，
∵
，
，
∴
．
解得
．
∴点
的坐标是
，
∴
．
∴点
的坐标是
，点
的坐标是
时，
点
与点
的“非常距离”最小，最小值是．
图
6
【标注】【知识点】与距离有关的新定义
1
2
（1 ）
（2 ）
3.
方法一：
方法二：
1
（1 ）
【解析】
在平面直角坐标系
中，给出如下定义：若点
在图形
上，点
在图形
上，称线段
长度的
最小值为图形
，
的密距，记为
．特别地，若图形
，
有公共点，规定
．
图
如图，⊙
的半径为．
点
，
，则
⊙
，
⊙
．
已知直线：
与⊙
的密距
⊙
，求的值．
如图，
为轴正半轴上一点，⊙
的半径为，直线
与轴交于点
，
与轴交于点
，线段
与⊙
的密距
⊙
．请直接写出圆心
的横坐标
的取
值范围．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
;
．
．
⊙
，
⊙
．
连接
，过点
作
轴于，如图，
7
方法一：
2
∵⊙O的半径为，点
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
故答案为：；．
设直线：
与轴，轴分别交于点
，
，
∴
，
．
过点
作
于点
，
交⊙
于点
，
当
时，
，
，
，
∴
，
∵
⊙
，
∴
，
即
，
∴
．
8
方法二：
（2 ）
当
时，同理可得
．
∴
．
设直线
与轴、轴分别交于点
、
，过点
作
于
，设
与⊙O交于点
，如图，
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵直线
⊙O的密距
，
∴
，
∴
．
过点
作
于
，如图．
∵点
、
分别是直线
与轴、轴的交点，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
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【标注】
∴
．
①当点
在点
左边时，
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵线段
与⊙C的密距
，
∴
，
∴
；
②当点
与点
重合时，
．
此时
．
③当点
在点
的右边时，
．
∵线段
与⊙C的密距
，
∴
，
∴
，
∴
∴
．
综上所述：
．
【知识点】一次函数与圆的综合问题
