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1
圆【章节复习】压轴题-圆综合 题集C8
图
（1 ）
图
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，
为⊙
的直径，
与⊙
相切于点
，
与⊙
相切于点
，点
为
延长线上一
点，且
．
求证：
为⊙
的切线．
如图，连接
，
的延长线与
的延长线交于点
．若
，
，求线段
和
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
，
．
连接
，
．
∵
，
，
，
∴
≌
．
∴
．
又∵
与⊙
相切于点
，
∴
．
∴
．
∴
为⊙
的切线．
2
（2 ）
【标注】
过点
作
于点
，
∵
，
，
分别切⊙
于点
，
，
，
∴
，
．
设
为，则
，
．
在
中，
，
解得：
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
，
，
解得
．
【知识点】圆与勾股
2. 如图，
是⊙
的直径，弦
于
，过
延长线上一点
作⊙
的切线交
的延长线于
．切点为
，连接
交
于
．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
．
若
，试判断
与
的位置关系，并说明理由．
在（）的条件下，若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
如图，连接
．
∵
为切线，
∴
．
∵
，
∴
．
又
，
∴
．
∴
．
∴
．
，理由为：
4
（3 ）
【标注】
连接
，如图所示．
∵
，即
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
，又
．
∴
．
∴
．
连接
，
，如答图3所示．
，设
，则
，
，
∵
，
，
∴
．
∴
．
在
中，根据勾股定理得
，
即
，解得
．
设⊙
半径为，在
中，
，
，
，
由勾股定理得：
，
即
，解得
．
∵
为切线，
∴
为直角三角形．
在
中，
，
，
∴
．
【知识点】圆与勾股
3. 如图，已知
是⊙
的直径，点
在⊙
上由点
顺时针向点
运动（点
不与点
、
重合），弦
交
于点
，且
，过点
作弦
的平行线与
的延长线交于点
．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
若⊙
的半径为，且点
为弧
的中点时，求圆心
到弦
的距离．
当
时，求
的大小．
若
，且
，求
的面积．
备用图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
过点
作
于点
，
∵
，
为⊙
的直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
在
中，
，
6
（2 ）
（3 ）
∴
，
，
∴圆心
到弦
的距离为
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
连接
、
，延长
交
于点
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
为⊙
的切线，
，
∵
为⊙
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
7
【标注】
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，
的平分线交
于点
，过点
作
的垂线交
于点
，⊙
是
的外接圆．
求证：
是⊙
的切线．
过点
作
，垂足为
，求证：
．
若
，
，求
及
的长度．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
，
．
如图，连接
．
∵
，
∴
，
∴
是圆
的直径．
∵
平分
，
8
（2 ）
（3 ）
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
如图，连接
．
∵
，
于
，
于
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
．
由（）得
，又
，
∴
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
9
【标注】
∴
，
，
∴在
中，
，
∴在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，点
是⊙
上一点，
和过点
的切线互相垂直，垂足为
，直线
与
的延长线相交于
，弦
平分
，交直径
于点
，连结
．
求证：
平分
．
探究线段
，
之间的大小关系，并加以证明．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
连接
．
∵
，
∴
．
∵
是⊙
的切线，
，
∴
，
∴
．
∴
．
即
平分
．
，理由如下
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（3 ）
【标注】
∵
是直径，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
．
又∵
，
，
，
∴
．
∴
．
连接
，
∵
，
∴
，
∴
．
又∵
是直径，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
．
∵
．
∴
，
设
，则
，
在
中，
，
解得：
（舍去），
．
∴
．
【知识点】圆与相似
