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圆【章节复习】压轴题-新定义 题集C37
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
x
y
O
（2 ）
（3 ）
【解析】
对于平面内任意一个角的“夹线圆”，给出如下定义：如果一个圆与这个角的两边都相切，则称这
个圆为这个角的“夹线圆”．例如：在平面直角坐标系
中，以点
为圆心，为半径的圆是
轴与轴所构成的直角的“夹线圆”．
下列各点中，可以作为轴与轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点是 ．
，
，
，
．
若⊙
为轴和直线：
所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙
的半径为，求点
的坐
标．
若⊙
为轴和直线
所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙
的半径
，直接写出点
横坐标
的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
、
点坐标为
或
．
点
的横坐标为
或
．
可以作为轴与轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点是
、
．
如图：过
点作
轴于点
，
于
，连
．
∵点
为直线
上一点．
∴设
点坐标为
．
设直线
与轴夹角为．
∵
．
∴直线与轴的夹角为
．
∴
．
又∵⊙
与轴及直线
均相切，
∴
平分
．
∴
．
又∵
．
∴
点坐标为
．
同理，当
点在第三象限时，
点坐标为
．
或
．
过
作
轴于
，作
，连接
．
2
【标注】
直线
与轴交于
，
与轴交于
，
．
∵⊙
为轴与直线
所构成的锐角“夹线圆”．
∴
平分
，
．
∵
．
∴
．
∴
．
∴当⊙
的半径为时，
，
，
．
当⊙
的半径为时，
，
，
．
∴当⊙
的半径为
时，点
的横坐标为
．
同理，当⊙
位于第四象限时，点
的横坐标为
．
综上所述，点
的横坐标为
或
．
【知识点】与圆有关的新定义
1
2
（1 ）
（2 ）
2. 在平面直角坐标系中，点
的坐标为
，若过点
的直线与轴夹角为
时，则称该直线为点
的“相关直线”．
已知点
的坐标为
．
直接写出点
的“相关直线”的解析式．
若⊙
上存在点
，使得直线
是点
的“相关直线”，求⊙
的半径的取值范围．
⊙
的半径为
，若⊙
上存在一点
，点
的“相关直线”与双曲线
相
交于点
，请直接写出点
横坐标的取值范围．
3
1
2
（1 ）
【解析】
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
直线
的解析式为
，同法可得直线
的解析式为
．
．
．
如图中，设点
的“相关直线”交轴于
或
，
在
中，
，
，
∴
，同理可得
，
设直线
的解析式为
，
则有
，
解得
，
∴直线
的解析式为
，同法可
得直线
的解析式为
．
要使⊙
上存在点
，使得直线
是点
的“相关直线”，
则要⊙
与直线
和
有交点即可，
则当⊙
与
和
相切时，
如图，
设切点分别为
，
，
在
中，∵
，
，
∴
．
4
（2 ）
【标注】
∴
．
则当
时，满足题意．
如图中，
当点
的“相关直线”与⊙
相切时，易知直线
的解析式为
，直线
的
解析式为
，
由
可得
，
由
可得
，
观察图象可知，满足条件的点
的横坐标的取值范
围
．
【知识点】与函数有关的新定义
1
2
（1 ）
（2 ）
3. 平面内，不在同一条直线上的三个点
、
、
确定⊙
，则称
上
、
两点间的劣弧长或半圆弧长
叫做点
、
关于点
的“圆周距离”．
回答：
如图，
中，
，
，
，则点
、
关于点
的“圆周距离”是 ．
图
如图，等边
中，
，则
关于
的“圆周距离”是 ．
图
在平面几何课上我们学过一条基本事实：两点之间，线段最短，但是在连接两点之间的圆弧
线中，
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（3 ）
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，容易发现：弧线对应的半径越大，弧的弯曲程度越小，就越趋近于直线，沿着弧线的
距离也就越短．
如图，若
，
，⊙
的半径为，
在⊙
上，则点
、
关于
的“圆周距
离”最大时，求点
的坐标．
图
图
如图，
，⊙
的半径为
，
是⊙
上的动点，
在轴，若
、
关于
的
“圆周距离”恰好是
、
对于相对任意点所能取到的最大“圆周距离”，且
，直接写出点
的坐标为 ．
图
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
，
能确定的点
在
上中点，
所对的劣弧圆心角为
，故“圆周距离”
是
．
可知
为
的中心，则其圆心角为
，故“圆周距离”是
．
由题意，当
为半圆时点
、
关于
的“圆周距离”最大，
∴
，
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（3 ）
【标注】
过
作
轴于
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
．
，
．
【知识点】与圆有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 以点
为端点竖直向下的一条射线
，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线
，
，我
们规定：
为点
的“摇摆角”，射线
摇摆扫过的区域叫作点
的“摇摆区域”（含
，
）．在平面直角坐标系
中，点
．
当点
的摇摆角为
时，请判断
、
、
、
属于点
的摇摆
区域内的点是 （填写字母即可）．
如果过点
，点
的线段完全在点
的摇摆区域内，那么点
的摇摆角至少
为 ．
⊙
的圆心坐标为
，半径为，如果⊙
上的所有点都在点
的摇摆角为
时的摇摆区
域内，求的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
点
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（3 ）
．
点
．
．
当⊙
运动到摇摆角的内部，与
左边的射线相切时如图，
∵点
的摇摆角为
，
∴
，
．
在
中，
，
可求得
．
∵
，
∴
．
在
中，
，
可求得
．
∴
．
当⊙
运动到摇摆角的内部，与
右边的射线相切时如图，
同理可求得
．
∴
．
【知识点】新定义综合其它
