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1
圆【章节复习】压轴题-辅助圆 题集C5
（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
已知：在等边
中，
，
、
分别是
、
的中点（如图）．若将
绕点
逆时针旋转，得到
，设旋转角为（
），记射线
为
的交点为
．
图
判断
的形状．
在图中补全图形，
图
猜想在旋转过程中，线段
与
的数量关系并证明．
求
的度数．
点
到
所在直线的距离的最大值为__________．（直接填写结果）
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
为等边三角形．
，证明见解析．
．
．
∵
、
分别是
、
的中点，
∴
，
，
∵
为等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
为等边三角形．
2
1
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
∵
绕点
逆时针旋转，得到
，
∴
为等边三角形，
∴
，
，
而
，
∴
，
∴
可由
绕点
逆时针旋转得到，
∴
．
∵
可由
绕点
逆时针旋转得到，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴点
、
、
、
共圆，
∴当
时，点
到
所在直线的距离的最大值，此时点
在
上，
在
中，
，
∴点
到
所在直线的距离的最大值为．
【知识点】圆与等腰+平行线
2. 在等边
外侧作直线
，点
关于直线
的对称点为
，连接
，
，
，其中
交
直线
于点
．设
，
，
．
图
图
3
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
（1 ）
（2 ）
1
（3 ）
【解析】
依题意补全图．
若
，直接写出和的度数．
如图，若
．
判断，的数量关系并加以证明．
请写出求大小的思路．（可以不写出计算结果）
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
画图见解析．
，
．
，证明见解析．
思路见解析．
补全图形，如图所示．
图
，
．
．
∵点
与点
关于直线
对称，
∴
，
．
∵
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴点
，
，
在以
为圆心的圆上，
∴
．
∵
，
，
∴
，
即
．
4
2
【标注】
图
由①知
，
∴
，
，
，
四点在同一个圆上，故
与
互补．
由
是等边三角形，得
，
可求
．
【知识点】圆内接四边形综合
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 已知
中，
，
，直线经过点
（不经过点
或点
），点
关于直线的
对称点为
，连接
，
．
如图．
图
求证：点
，
，
在以点
为圆心，
为半径的圆上．
直接写出
的度数（用含的式子表示） ．
如图，当
时，过点
作
的垂线与直线交于点
，求证：
．
图
如图，当
时，记直线与
的交点为
，连接
，将直线绕点
旋转，当线段
的长取得最大值时，直接写出
的值．
5
图
1
2
（1 ）
图
（2 ）
【解析】
图
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
连接
，如图，
∵点
关于直线的对称点为
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴点
，
，
在以点
为圆心，
为半径的圆上．
由①可知点
，
，
在以点
为圆心，
为半径的圆上，
∴
的度数为
．
连接
，如图，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵点
关于直线的对称点为
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
≌
，
6
图
（3 ）
【标注】
∴
．
延长
至
，使得
，连接
，
∵
，
，
∴
，
，
要求
取得最大值，即
取得最大值，
为⊙
外一点，
为圆上一点，
当且仅当
，
，
三点共线时，
最大，
过
作
于
，
在
中，
，
，
∴
，
，
，
．
【知识点】旋转性质综合应用
