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1
圆【章节复习】压轴题-圆和二次函数 题集C28
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知抛物线
的顶点坐标为
，与轴相交于
，
两点（点
在点
的
右侧），与轴相交于点
．
用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：
，并指出顶点
的坐
标．
在抛物线的对称轴上找点
，使得
的值最小，并求出其最小值和点
的坐标．
以
为直径作⊙
交抛物线于点
（点
在对称轴的左侧），求证：直线
是⊙
的切
线．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
最小值为
，
点坐标为
．
证明见解析．
∵
，
∴抛物线的解析式化为顶点式为：
，
顶点
的坐标是
．
∵
，
∴当
时，
，
解得
或，
∴
，
，
∵
时，
，
∴
．
连接
，则
与对称轴
的交点为
，连接
，
则
，根据两点之间线段最短可知此时
的值最
小，
2
（3 ）
最小值为
．
设直线
的解析式为
，
∵
，
，
∴
，
解得
，
∴直线
的解析式为：
，
令
，得
，
∴
点坐标为
．
设点
坐标为
．
∵
，
，
∴
，
∴以
为直径的⊙
的半径为
，
∴
，
即
，
化简整理得，
，
，
解得
（与
重合，舍去），
，
（在对称轴的右侧，舍去），
（与
重合，舍去），
∴点
坐标为
．
∵
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∵点
在⊙
上，
∴直线
是⊙
的切线．
3
【标注】
O
【知识点】二次函数与圆的综合问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
已知抛物线
与轴交于
、
两点（点
在点
的左侧），与轴交于点
．
求
、
、
三点的坐标．
经过
、
两点作
，交抛物线于点
（点
在对称轴右侧），若
，求点
的坐标．
如图，点
是抛物线对称轴上，纵坐标为
的点，点
是对称轴上抛物线下方的动点，以
点
为圆心，
为半径作圆交抛物线于点
（点
在对称轴的右侧），求证：直线
与抛
物线有唯一公共点．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
，
．
或
．
证明见解析．
令
得到
，
4
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
．
令
得到
，
∴
，
．
∴
，
，
．
∵
为圆心．
∴
必在
中垂线上
即
必在
上．
设
，由题意可得要使
时，
即
为等腰直角三角形且
为直角．
①若
在轴下方时，则由
，
．
结合三垂直可求得
．
又∵
在抛物线上，代入抛物线得
，
（舍）
∴
．
②若
在轴上方时，同理由
，
可得
代入抛物线得：
（舍），
，
∴
．
得上
或
．
，
，
设
．
则
满足①在
上 ， ②与
距离为
设
，
得到
，
∴
代入①得
．
，而
∴
，
．
联立：
，
∴
．
∴
与抛物线相切，有且只有一个公共点
．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
①
②
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点
、
、
．
用尺规画出该圆弧所在圆的圆心
的位置．
若
点的坐标为
，
点的坐标为
，试验证点
是否在经过点
、
、
的抛物线
上．
在（）的条件下，求证：直线
是⊙
的切线．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
如图所示：
，点
不在经过
的抛物线上．
证明见解析．
如图所示：
6
（2 ）
（3 ）
由
，可得小正方形的边长为，从而
、
，
设经过点
的抛物线的解析式为
，
依题意
，
解得
所以经过点
的抛物线的解析式为
，
把点
的横坐标
代入上述解析式，
得
，
所以点
不在经过
的抛物线上．
如图，设过
点与轴垂直的直线与轴的交点为
，
连接
，作直线
，
∴
，
，
，
，
在
中，
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
7
【标注】
∴
，
为半径，
∴直线
是⊙
的切线．
【知识点】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【知识点】切线的判定定理
【知识点】二次函数解析式
【知识点】几何图形初步
【知识点】过一点作已知直线的垂线
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在平面直角坐标系中，已知
，
，
为动点，坐标为
，为实数，以
为直径坐⊙
．
若⊙
经过原点
，求
的坐标．
若⊙
与坐标轴有四个交点，求的取值范围．
若⊙
与轴有交点，试说明交点的横坐标是方程
的根．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
当
且
，
时，⊙
与坐标轴有四个交点．
证明见解析．
∵
为直径，∴
，
∴点
与点
重合，
∵
的坐标为
，
∴
，
∵
为线段
的中点，又
，
∴
．
若⊙
与坐标轴有四个交点，则⊙
与轴、轴各有两个交点，且不与原点重合，
①∵⊙
过
∴⊙
与轴相切，则当
时，⊙
与轴相交，
②过点
作
轴，垂足为
，
∵
，
，
∴
，圆的半径
，
若⊙
与轴相交，则
，
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（3 ）
【标注】
即
，解得
，
③由（）得，当
时，⊙
过原点，
综上所述，当
且
，
时，⊙
与坐标轴有四个交点．
设⊙
与轴有交点
，则
，
即
，
化简得
，
∴
是方程
的根．
【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
