文档文本内容
1
和圆有关的尺规作图 题集【B】
1. 找圆心
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片，文物学家希望能把此件文物进行复原，因此把残
片抽象成了一个弓形，如图所示，经过测量得到弓形高
米，
，请你帮助文物
学家完成下面两项工作：
作出此文物轮廓圆心
的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
求出弓形所在圆的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
此弓形所在圆的半径为
．
如图所示：
答：点
即为所求作的点．
连接
，
∵在
中，
，
∴
，
．
∵
，
∴
．
答：此弓形所在圆的半径为
．
【知识点】作线段的垂直平分线
【知识点】弧、弦、圆心角关系
2
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
李雷为了修复一块圆形的镜子，需要找出镜子残片的圆心和半径．
请利用尺规作图，找到圆形残片的圆心
．（保留作图痕迹）
写出画图的依据： ．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等，不在同一条直线上的三个点
确定一个圆
线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等，不在同一条直线上的三个点确定一个
圆．
【知识点】垂径定理以及应用
2. 作外接圆或内切圆
1. 下面是小松设计的“做圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．
已知：⊙
．
求作：⊙
的内接等腰直角三角形．
作法：如图，
①作直径
．
②分别以点
，
为圆心，以大于
的同样长为半径作弧，两弧交于
，
两点．
③作直线
交⊙
于点
，
．
3
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
④连接
，
．
所以
就是所求作的三角形．
根据小松设计的尺规作图过程．
使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）．
完成下面的证明．
证明：∵
是直径，
是⊙
上一点．
∴
( ) （填写推理依据）．
∵
( )（填写推理依据）．
∴
是等腰直角三角形．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
; 直径所对的圆周角是直角 ; 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相
等
补全的图形如图所示：
∵
是直径，
是⊙
上一点．
∴
（直径所对的圆周角是直角） ．
∵
（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）．
∴
是等腰直角三角形．
【知识点】等腰直角三角形的判定
2. 如图，
中，
，⊙
分别切
、
、
于
、
、
．
4
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
请在图中画出⊙
（尺规作图，并且保留作图痕迹）．
若
，
，求出⊙
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
如图所示：
．
如图所示：
设⊙
的半径为
，连接
、
，
则正四边形
为正方形，
∵
，
，
∴
，
，
∵在
中，
，
，
即
，
∴
．
【知识点】圆与勾股
3. 如图，在
中，
，
．
5
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
利用尺规，以
为直径作⊙
，交
于点
（保留作图痕迹，不写作法）．
在（）所作的图形中，求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）证明见解析．
如图所示：
连接
，如图，
∵
是直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
4. 下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．
已知：⊙
．
6
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求作：⊙
的内接正三角形．
作法：如图，
①作直径
；
②以
为圆心，
为半径作弧，与⊙
交于
，
两点；
③连接
，
，
．
所以
就是所求的三角形．
根据小董设计的尺规作图过程．
使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．
完成下面的证明：
证明：在⊙
中，连接
，
，
，
，
∵
，
∴
为等边三角形（ ）（填推理的依据），
∴
，
∴
，
同理
，
∴
，
∴
（ ）（填推理的依据），
∴
是等边三角形．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
三条边都相等的三角形是等边三角形 ; 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相
等
在⊙
中，连接
，
，
，
，
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【标注】
∵
，
∴
为等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形），
∴
，
∴
，
同理
，
∴
，
∴
（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），
∴
是等边三角形．
【知识点】作圆的内接正三角形
3. 作垂直
（1 ）
（2 ）
1. 下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程．
已知：平行四边形
．
求作：
，垂足为点
．
作法：如图，
①分别以点
和点
为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于
，
两点；
②作直线
，交
于点
；
③以点
为圆心，
长为半径做圆，交线段
于点
；
④连接
．
所以线段
就是所求作的高．
根据小明设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）
完成下面的证明．
证明：∵
，
，
∴
为线段
的垂直平分线．
∴
为
中点．
∵
为直径，⊙
与线段
交于点
，
∴
．（ ）（填推理的依据）
∴
．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
，
，直径所对的圆周角是直角．
8
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
尺规作图如下．
∵
，
，
∴
为线段
的垂直平分线．
∴
为
中点．
∵
为直径，⊙
与线段
交于点
，
∴
．（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
2. 下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．
已知：
．
求作：
边上的高
．
作法：如图，
（1）分别以点
和点
为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于
，
两点．
（2）作直线
，交
于点
．
（3）以
为圆心，
为半径作⊙
，与
的延长线交于点
，连接
，线段
即为所作的
高．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
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【解析】
【标注】
【答案】①到线段两个端点距离相等的点再线段的垂直平分线上，
②直径所对的圆周角是直角，
③两点确定一条直线．
（注：写出前两个即可给3分，写出前两个中的一个得2分，其余
正确的理由得1分）
①到线段两个端点距离相等的点再线段的垂直平分线上，
②直径所对的圆周角是直角，
③两点确定一条直线．
（注：写出前两个即可给分，写出前两个中的一个得分，其余正确的理由得分）
【知识点】作线段的垂直平分线
4. 作切线
1. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：⊙
和⊙
外一点
．
求作：射线
，使得
与⊙
相切．
（1）连接
．
（2）作线段
的中点
，以点
为圆心，以
的长为半径作半圆，交⊙
于点
．
（3）作射线
．
所以射线
即为所求．
老师说：“小明的作法正确”．
请回答：小明的作图依据是 ．
【答案】直径所对的圆周角是直角．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线为圆的切线
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【标注】【知识点】过已知点作已知圆的切线
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
实践与操作：如图，
是直角三角形，
．
尺规作图：作⊙
，使它与
相切于点
，与
相交于点
，保留作图痕迹，不写作法，
请标明字母．
在你按（）中要求所作的图中，若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
作图见解析．
的长
．
如图所示：
如图，∵
，
，
∴
．
∵
为⊙
的切线，
为切点，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
的长
．
【知识点】弧长公式
【知识点】切线的性质定理
【知识点】过已知点作已知圆的切线
【能力】运算能力
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3.
【解析】
【标注】
下面是“经过已知图上一点作这个圆的切线”的作图过程：
已知：⊙
及⊙
上一点
求作：⊙
的切线，使它经过
点，
作法：如图
（1）连结并延长
，在
的延长线上取点
，使
．
（2）分别以
、
为圆心，大于
长为半径画弧，两弧交于点
．
（3）作直线
．
所以直线
就是所求的切线．
请回答：作图的依据是 ．
【答案】①到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
②过半径的外端且垂直于这
条半径的直线是圆的切线．
③两点确定一条直线．
①到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
②过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
③两点确定一条直线．
【知识点】切线的判定定理
（1 ）
（2 ）
4. 下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程：
已知：
为⊙
外一点，
求作：经过点
的⊙
切线．
作法：如图，
①连接
，作线段
的垂直平分线交
于点
．
②以点
为圆心，
为长为半径作圆交⊙
于
，
两点．
③作直线
，
．
所以直线
，
就是所求作的切线．
根据小飞设计的尺规作图过程：
使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）．
完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）．
证明：连接
，
，
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（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
∵
为⊙
的直径，
∴
，（ ）
∴
，
，
∴
，
为⊙
的切线．（ ）
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
，直线所对的圆周角等于
．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是
圆的切线．
如图所示：
连接
，
，
∵
为⊙
的直径，
∴
，（直线所对的圆周角等于
）
∴
，
，
∴
，
为⊙
的切线．（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线）
【知识点】切线的判定定理
5. 其他问题
1. 在数学课上，老师布置了一项作图任务，如下：
已知：如图，在
中，
，请在图中的
内（含边），画出使
的
一个点
（保留作图痕迹），小红经过思考后，利用如下的步骤找到了点
：
（1）以
为直径，做⊙
，如图；
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【解析】
【标注】
（2）过点
作
的垂线，交⊙
于点
；
（3）以点
为圆心，
为半径作⊙
，分别交
、
边于
、
，在劣弧上任取一点
即为所
求点，如图．
说出此种做法的依据 ．
A
B
C
图
A
B
C
M
图
A
B
C
M
N
F
K
P
图
【答案】（1）直径所对的圆周角等于
，（2）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
根据圆的性质可知．
【知识点】圆周角定理以及应用
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面的问题：
已知：平面内一点
，求作：
，使得
．
小明同学的作法如下：
①作射线
；②在射线
上取一点
，以
为圆心，
为半径作圆，与射线
交于点
；③以
为圆心，
为半径作弧，与⊙
交于点
，作射线
，
即为所求作的角．
老师说小明的作法是正确的．
请你按照小明提示的作法完成作图．
请你对小明的作图方法的正确性进行证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
证明见解析．
如图，
即为所求．
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（2 ）
【标注】
连接
、
，
由作图知，
，
∴
为等边三角形，
则
，
∴
．
【知识点】作图依据
3.
【解析】
如图，小明想做⊙
中圆弧
的中点
、
，他作图的步骤：
（）以
为直径做⊙
交
于点
；
（）作直线
交⊙
于点
、
小明作图的依据是：
① ．
② ．
【答案】半圆（或直径）所对的圆周角是直角 ; 垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧
∵
是直径，
∴
，即
，
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【标注】
∴
、
为圆弧
的中点．
【知识点】作圆弧的中点
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知；正方形
边长为，
图
图
图
在图①②的正方形
内（含边），分别画出一个点
满足
，并直接写出此
时
的长度．（要求：图①②中线段的长度各不相等）．
在图③的正方形
内（含边），画出使
的所有点
（要求尺规作图）．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析，和
．
画图见解析．
∵
为等边三角形，∴
．
在
中，
，
，
∴
．
图
图
作
的外接圆⊙
，分别交
，
于
、
，
即为所求．
图
【能力】推理论证能力
16
【能力】运算能力
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】作一个角等于已知角
