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1
公共根问题题集
1.
【解析】
【标注】
已知是关于的方程
及
的公共解，则
，
．
【答案】 ;
因为是两个方程的公共解，
得
，
①
②得
，解得
，
代入①中可解得
．
【知识点】一元二次方程公共根
①
②
2.
【解析】
【标注】
若方程
和
只有一个公共根，则
的值是多少？
【答案】．
设公共根为
，
则
，
①-②，得
，
当
时，方程有两个公共根，不合题意，
当
时，
，则
．
答：
的值是．
【知识点】一元二次方程公共根
①
②
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
如果方程
和
有公共根，求公共根．
【答案】A
设为两方程公共根，则
①
②
①
②
2
【标注】
∵
，∴
∴
∴
是方程的公共根．
【知识点】一元二次方程公共根
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
【标注】
是否存在某个实数
，使得方程
和
有且只有一个公共的根，若存
在，求出公共根为（ ）．
【答案】A
假设存在符合条件的实数
，且设这两个方程的公共实根为，
则
，
得
，
∴
或
．
当
时，已知两个方程为同一个方程，且没有实数根，故
舍去；
当
时，代入①得
，可求得公共根为
．
【知识点】一元二次方程公共根
①
②
①
②
5.
【解析】
【标注】
关于的 方程
与
有公共根，则
.
【答案】
∵两个方程有公共根，
∴
，
②
①得，
，
或
．
当
时，代入①得：
．
综上：
．
【知识点】一元二次方程公共根
①
②
3
6.
【解析】
【标注】
若方程
与方程
至少有一个相同的实数根，求实数的值．
【答案】
．
假定这个相同的实数根为
，则将它代入两个方程，得到两个关于
、的等式，
设
是两个方程相同的根，
则有
①，
②．
两式相减，得
，即
，所以
或
．
当
时，两个方程都是
，这个方程无实根，故
不合题意．
当
时，代入①式或②式，都可以解得
，所以
．
【知识点】一元二次方程公共根
7.
【解析】
【标注】
已知实数、满足
，且方程
和
至少有一个公共根，求
、的值．
【答案】
或
；
或
；
．
∵
，
，
①
，
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
，
∴
或
，
∴
或
．
②
即
，
∵
，
∴
．
【知识点】一元二次方程公共根
4
8.
【解析】
【标注】
已知两个方程
与
有且只有一个公共根，求这两个方程的公共根．
【答案】．
设两个方程的公共根是
，分别把
代入两方程有：
，①
，②
把①
②有：
，
由题意可知
,可得
．
故答案是：．
【知识点】一元二次方程公共根
9.
【解析】
【标注】
关于的方程
和
有一个公共根，求的值．
【答案】
或．
设公共根为，则
①
②
①
②得：
解得：
或
； ①
②得，
，
∴
或．
【知识点】一元二次方程公共根
10.
【解析】
求的值，使得一元二次方程
，
有相同的根．
【答案】
或．
不妨设是这两个方程相同的根，由方程根的定义有
①，
②．
①
②有，
，即
，
5
【标注】
∴
，或
．
当
时，两个方程都变为
，
∴两个方程有两个相同的根
=
，没有相异的根；
当
时，代入①或②都有
，
此时两个方程变为
，
．
解这两个方程，
的根为
，
；
的根为
，
．
∴
为两个方程的相同的根．
【知识点】一元二次方程公共根
11.
【标注】
在解决数学问题时，我们经常要回到基本定义与基本方法思考．试利用方程的解的定义与解方程组
的基本方法解以下问题：
已知是关于的方程
及
的公共解，则
，
．
【答案】 ;
【知识点】一元二次方程公共根
12.
【解析】
【标注】
若关于的方程
与
有相同的实根，则
的值为 ．
【答案】
由方程
，
得
，
由方程
，
得
，
则有
，
解得
，
把
代入方程
，
故有方程
，
解得
．
【知识点】一元二次方程公共根
6
A.
B.
C.
D.
13.
【解析】
【标注】
若两个方程
和
只有一个公共根，则（ ）．
【答案】D
设两方程的公共根为
，则
①，
②，
①
②得，
，
∴
，解得
，
将
代入①得
，
∴
．
【知识点】一元二次方程公共根
（1 ）
（2 ）
（3 ）
14.
（1 ）
【解析】
已知关于的两个一元二次方程：
方程①：
；
方程②：
．
若方程①有两个相等的实数根，求解方程②．
若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简
．
若方程①和②有一个公共根，求代数式
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
方程①没有实数根，
．
∵方程①有两个相等实数根，
∴
由③得
,
由④得
．
∵
，
∴
．
当
时，方程②为：
．
③
④
7
（2 ）
（3 ）
【标注】
解得
，
∵
，
因此无论为何值时，方程②总有实数根，
∵方程①、②只有一个方程有实数根，
∴此时方程①没有实数根，
∴
，
∴
，
∴
．
设是方程①和②的公共根，
∴
③，
④，
由
得：
⑤，
由④得：
⑥，
将⑤、⑥代入原式，得
∴原式
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
③
④
15.
【解析】
三个二次方程
，
，
有公共根．求证：
并求
的值．
【答案】证明见解析；
．
．①
．②
．③
①
②
③得
，
．
∵
，
∴
．
8
【标注】
，
，
．
∴原式
．
【知识点】一元二次方程公共根
