文档文本内容
1
分式方程的实际应用 题集【B】
1. 用分式方程解和差倍分问题
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如果把一条线分为两部分，使其中较长的一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长
一段的比也是黄金分割数，由此，如果设整个线段长为，设较长段为，可以列出的方程为（ ）．
【答案】A
由题意可列方程为：
．
【知识点】黄金分割
2.
【解析】
【标注】
列方程解应用题．
为促进学生健康成长，切实提高学生健康水平，某校为各班用
元购进若干体育用品，接着又用
元购进第二批体育用品，已知第二批所购体育用品数是第一批所购体育用品数的
倍，且每件
体育用品的进价比第一批的进价少元，求第一批体育用品每件的进价是多少？
【答案】第一批体育用品每件的进价是
元．
设第一批体育用品每件的进价是元
根据题意，得
解之，得
，
经检验，
是所列方程的解，并且符合实际问题的意义．
答：第一批体育用品每件的进价是
元．
【知识点】分式方程的和差倍分
3. 列分式方程解应用题：
国庆期间，市属各大公园布置了主题花坛、园林小品、花卉盆景展、花境花带及植物科普展等多种
形式喜迎佳节．根据市公园管理中心提供的数据显示，去年，市属各大公园中主题花坛的花卉布置
总面积为
万平方米．今年，主题花坛的花卉布置总面积增加到
万平方米．平均每组主题花坛的
花卉布置面积是去年的
倍，所布置的主题花坛比去年少组．求今年国庆期间市属各大公园共布
置了多少组主题花坛？
2
【解析】
【标注】
【答案】今年国庆期间共布置了
组花坛．
设今年国庆期间共布置了组花坛，
由题意知：
,
解得：
．
经检验，
是原方程的解．
答：今年国庆期间共布置了
组花坛．
【知识点】分式方程的和差倍分
4.
【解析】
【标注】
为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小李建议每位同学都践行“双面打
印，节约用纸”．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用
厚型纸单面打印，总质量为
克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用
薄型纸双面打印，总质量为
克．已知
每页薄型纸比厚型纸轻
克，求例子中的
厚型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）
【答案】例子中的
厚型纸每页的质量为克．
设例子中的
厚型纸每页的质量为克，
由题意，得
，
解得
．
经经验：
为原方程的解，且符合题意．
答：例子中的
厚型纸每页的质量为克．
【知识点】分式方程的和差倍分
5.
【解析】
为了提升学生阅读能力，某区各中学开展了“师生共度一本书”活动，经过一学期的阅读训练，小
周同学发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的倍还多
字，现在读
字的文章与原来读
字的文章所用的时间相同，求小周现在每分钟阅读的字数．
【答案】小周现在每分钟阅读字数是
字．
设小周原来每分钟阅读字数为，
，
解得：
，
经检验
是原方程的解，
3
【标注】
，
答：小周现在每分钟阅读字数是
字．
【知识点】分式方程的和差倍分
2. 用分式方程解行程问题
1.
【解析】
【标注】
甲乙两人同时同地沿同一路线开始攀登一座
米高的山，甲的攀登速度是乙的
倍，他比乙早
分钟到达顶峰．甲乙两人的攀登速度各是多少？如果山高为米，甲的攀登速度是乙的
倍，并比乙
早分钟到达顶峰，则两人的攀登速度各是多少？
【答案】甲的攀登速度为
米/时，乙的速度为
米/时．
设乙的速度为米/时，
则甲的速度为
米/时，
根据题意，得：
，
方程两边同时乘以
得：
，
即：
．
经检验，
是原方程的解，
甲的攀登速度为
米/时，乙的速度为
米/时．
当山高为米，甲的攀登速度是乙的
倍，并比乙早
分钟到达顶峰时，
设乙的速度为米/时，则有：
，
解此方程得：
，
当
时，
是原方程的解，
当
时，甲不可能比乙早到达顶峰．
∴此时甲的攀登速度为
米/时，乙的速度为
米/时．
【知识点】分式方程的行程问题
2. 在笔直的公路上，一只老虎想捕获距离它
米远的一只兔子．老虎跑步的距离，兔子要跑步；老
虎跑步的时间，兔子能跑步．问老虎能否追上兔子．如果能追上，求老虎跑多远追上；如果不能
追上，叙述理由．
【答案】老虎能追上兔子，需要跑
米才能追上．
4
【解析】
【标注】
设老虎跑步的距离为
，跑步的时间为
，
则老虎的速度
，兔子的速度为
，
∴
，
∴
，
∴老虎可以追上兔子．
设老虎追上兔子时，老虎跑过的路程为
，时间为，
则兔子跑过的路程为
，
根据题意，得
，
解得：
，
经检验，
是原方程的解．
答：老虎能追上兔子，需要跑
米才能追上．
【知识点】分式方程的行程问题
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
甲，乙两人同时从圆形跑道（圆形跑道的总长小于
）上一直径两端
，
相向起跑，第一次相
遇时离
点
，第二次相遇时离
点
，则圆形跑道的总长为（ ）．
【答案】C
设圆形跑道总长为，
设甲乙速度分别为
和
，
设第一次相遇在
点，
第二次相遇可能在
处或
处．
①
处相遇．
，
解得
（舍），
5
【标注】
（舍）．
②
处相遇．
，
解得
（舍），
．
综上，圆形跑道总长
米．
【知识点】分式方程的行程问题
4.
【解析】
【标注】
某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，小红和王兵二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同
时，步行匀速登梯，小红登了
级后到达楼上，王兵登梯速度是小红的倍，王兵登了
级后到达楼
上，问由楼下到楼上自动扶梯共有多少级？
【答案】
（级）
本例是“动态应用题”，类似于“牛吃草问题”、“检票问题”等，随着引元的不同有
多种解法．
解法一设从楼下到楼上扶梯共有级，小红登
级的同时扶梯走
级，王兵登
级的同时
扶梯走
级，依题意有：
，解得
（级）．
解法二设小红单位时间登级，王兵单位时间登
级，扶梯单位时间行驶级，所以小红从楼下到
楼上的时间为
，王兵从楼下到楼上的时间为
，
依题意有
，解得
．
扶梯从楼下到楼上共有
（级）．
解法三设扶梯上移一级需单位时间，小红登一级扶梯需
单位时间，王兵登一级需单位时间，
依题意有：
，解得
，
故扶梯自动上移级数是王兵登的级数的
，所以，从楼下到楼上自动扶梯共有
（级）．
【知识点】分式方程的和差倍分
6
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩同时从自动
扶梯上走到二楼（扶梯本身也在行驶）．如果二人都做匀速运动，且男孩每分钟走动的级数是女孩
的两倍．又已知男孩走了
级到达顶部，女孩走了
级到达顶部（二人每步都只跨级）．
扶梯在外面的部分有多少级．
如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的扶梯，台阶级数与扶梯级数相等，这两人各自到扶梯顶
部后按原速度走下楼梯，到一楼后再乘坐扶梯（不考虑扶梯与楼梯间的距离），则男孩第一
次追上女孩时，他走了多少台阶？
【答案】（1 ）
（2 ）
扶梯露在外面的部分有
级台阶．
走过了
级台阶．
设扶梯露在外面的部分有级，扶梯的速度为
，
女孩自身的速度为
，则男孩自身的速度为
．
则
为女孩上扶梯的速度，
为男孩上扶梯的速度．
，
上边两式联立可得
，
即扶梯的速度和男孩的速度一样，男孩上了
级台阶，
则扶梯也自动行驶
级，故扶梯露在外面的部分有
级台阶．
答：扶梯露在外面的部分有
级台阶．
男孩上电梯花
分钟，下楼梯花
分钟，一共花
分钟，
女孩上电梯花
分钟，下楼梯花
分钟，一共花
分钟，
经过
分钟时，男孩走了圈，女孩走了
圈，
经过
分钟时，男孩走了
圈，
女孩走了
圈，
这时男孩第一次追上女孩，男孩走过了
级台阶．
【知识点】分式方程的行程问题
3. 用分式方程解工程问题
（1 ）
1. 一项工程，甲队单独完成比乙队单独完成需少用天，甲队单独做天的工作乙队单独做需要天．
甲、乙两队单独完成此项工程各需几天？
7
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
该项工程先由甲、乙两队合作，再由甲队单独完成，若完成此项工程不超过
天，甲乙两队
至少合作几天？
【答案】（1 ）
（2 ）
甲、乙两队单独完成此项工程各需
天，
天．
甲乙两队至少合作
天．
设乙队单独完成此项工程需天，则甲需
天，由题意得：
，解得：
，
经检验：
是原分式方程的解且符合题意，
∴
（天）．
故答案为：甲、乙两队单独完成此项工程各需
天，
天．
设甲乙两队至少合作天，由题意得：
，解得：
．
故答案为：甲乙两队至少合作
天．
【知识点】分式方程的工程问题；不等式组的工程问题
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路
公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知
乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的
倍，甲队比乙队多筑路
天．
求乙队筑路的总公里数．
若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为
，求乙队平均每天筑路多少公里．
【答案】（1 ）
（2 ）
公里．
乙队每天筑路
公里．
由题意可得：
（公里），
∴乙队筑路的总公里数为
公里．
设甲队每天筑路
公里，乙队每天筑路
公里，
由题意可得：
，
化简得：
，
解得：
，
经检验，
是原方程的解．
∴甲队每天筑路
公里，乙队每天筑路
公里．
8
【标注】【知识点】分式方程的工程问题
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
我市对一段全长
米的道路进行改造，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工
时，若每天修路比原来计划提高效率
，就可以提前天完成修路任务．
修这段路原来计划用多少天？
有甲、乙两个工程队参与修路施工，其中甲队每天可修路
米，乙队每天可修路
米，若每
天只安排一个工程队施工，在保证至少提前天完成修路任务的前提下，甲工程队至少要修路
多少天？
【答案】（1 ）
（2 ）
修这段路原来计划用
天．
甲工程队至少要修路
天．
设原来每天修路
，依题意得：
，
解得：
，
检验：当
时，
，
∴
是原方程的解．
（天），
答：修这段路原来计划用
天．
设甲工程队修路天，乙工程队修路
天，
（天），
，
解得：
，
答：甲工程队至少要修路
天．
【知识点】分式方程的工程问题
（1 ）
（2 ）
4. 在南宁市地铁号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要
天，甲队单独施工
天后增加
乙队，两队又共同工作了
天，共完成总工程的
．
求乙队单独完成这项工程需要多少天？
为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是
，甲队的工
作效率是乙队的
倍（
），若两队合作
天完成剩余的工程，请写出关于
的函
数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？
9
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
乙队单独完成这项工程需要
天．
，乙队的最大工作效率是原来的
倍．
设乙队单独完成这项工程需要天，
根据题意得
，
解得：
，
经检验
是方程的根，
答：乙队单独完成这项工程需要
天．
根据题意得
，
∴
，
∵
，
∴随
的增大增大，
∴当
时，
最大，
∴
，
∴
倍，
答：乙队的最大工作效率是原来的
倍．
【知识点】分式方程的工程问题
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
加工一批零件，王师傅和李师傅一同做需要个小时即可完成；若王师傅先做个小时，再由李师傅
做个小时也可完成，若设王师傅单独做需要小时，李师傅单独做需要小时，可以列方程组（
）．
【答案】A
王师傅的工效为
，李师傅的工效为
，由题意，得
．
故选
．
【知识点】分式方程的工程问题
4. 用分式方程解销售问题
1.
10
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
某中学开学初在商场购进
、
两种品牌的足球，购买
品牌足球花费了
元，购买
品牌足球花
费了
元，且购买
品牌足球数量是购买
品牌足球数量的倍，已知购买一个
品牌足球比购买
一个
品牌足球多花
元．
求购买一个
品牌和一个
品牌的足球各需多少元．
这所中学决定再次购进
，
两种品牌足球共
个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调
整，
品牌足球售价比第一次购买时提高了
，
品牌足球按第一次购买时售价的折出售，
如果这所中学此次购买
、
两种品牌足球的总费用不超过
元，那么这所中学此次最多可
购买多少个
品牌足球？
【答案】（1 ）
（2 ）
一个
品牌的足球需
元，一个
品牌的足球需
元．
这所中学此次最多可购买
个
品牌足球．
设一个
品牌的足球需元，则一个
品牌的足球需
元，
由题意得
解得：
，
经检验
是原方程的解，
．
答：一个
品牌的足球需
元，一个
品牌的足球需
元．
设此次可购买个
品牌足球，则购进
品牌足球
个，由题意得
解得
，
∵是整数，
∴最大等于
．
答：这所中学此次最多可购买
个
品牌足球．
【知识点】不等式组的经济问题
（1 ）
（2 ）
2. 某校为了丰富学生的校园生活准备购进一批篮球和足球，其中足球的单价比篮球的单价少
元，用
元购进的足球个数和
元购进的篮球个数相等．
篮球和足球的单价各是多少元？
该校打算用
元购买篮球和足球，且两种球都必须购买，请问恰好用完
元的购买方案
有哪几种？
【答案】（1 ）足球的单价为
元/个，篮球的单价为
元/个．
11
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）有三种购买方案：
①购买篮球 个，足球 个；
②购买篮球 个，足球 个；
③购买篮球 个，足球
个．
设足球的单价为元/个，则篮球的单价为
元/个 ，
根据题意得：
，解得：
．
经检验，
是原分式方程的解，
∴
，
答：足球的单价为
元/个，篮球的单价为
元/个．
设恰好用完
元可购买篮球 个和足球 个，
根据题意得：
，
∴
，
∵ ， 都是正整数，
∴①
时，
；②
时，
；③
时，
，
∴有三种购买方案：
①购买篮球 个，足球 个；
②购买篮球 个，足球 个；
③购买篮球 个，足球
个．
【知识点】二元一次方程组的配套问题
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
【标注】
某厂接到加工
件衣服的订单，预计每天做
件，正好按时完成，后因客户要求提前天交货，设
每天应多做件，则应满足的方程为（ ）．
【答案】D
设每天应多做件，
则
，
故选
．
【知识点】分式方程的经济问题
4.
12
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
服装店经理用
万元购进一批某款式衬衫，由于受顾客喜爱，很快售完．第二次购进该款式衬衫，
所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了元，同时多花了
．
求第一批该款式衬衫每件进价是多少元？
经理以每件
元的价格销售该款式衬衫，当第二批衬衫售出
时，出现了滞销，于是决定
降价促销，若要使第二批的销售利润不低于
元，剩余的衬衫每件售价至少要多少元？
【答案】（1 ）
（2 ）
元．
元．
设第一批该款式衬衫每件进价是元，则第一批该款式衬衫每件进价是
元，
根据题意得：
，
解得：
，
经检验，
是原方程的解，且符合题意．
所以，第一批该款式衬衫每件进价是
元．
故答案为：
元．
第二批购进衬衫数为
(件)．
设剩余的衬衫每件售价为元，
根据题意得：
，
解得：
．
所以，剩余的衬衫每件售价至少要
元．
故答案为：
元．
【知识点】分式方程的经济问题
（1 ）
1
2
（2 ）
5. 学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的
倍．用
元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少
本．
甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
若学校计划购买这两种图书共
本，其中甲种图书本，投入的经费为
元．
请写出
关于的函数关系式．
若投入的经费不超过
元，且使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共
有几种购买方案？并求出最节省的购买方案和最节省经费．
【答案】（1 ）甲种图书的单价为
元，乙种图书的单价为
元．
13
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
【标注】
1
2
（2 ）
．
共有种方案，购进甲种图书
本，则购进乙种图书
本，
达到最小
元．
设乙种图书的单价为元，则甲种图书的单价为
元，
由题意得：
，
解得：
，
则
，
经检验得出：
是原方程的根，
答：甲种图书的单价为
元，乙种图书的单价为
元．
设购进甲种图书本，则购进乙种图书
本，根据题意得：
即
．
由题意可得：
，
解得：
，
所以
、
、
、
、
、
，
则
、
、
、
、
、
，
∴共有种方案，
由
可知：当 取最小值时，
最小，
∴
，
达到最小
元．
【知识点】分式方程的经济问题
