文档文本内容
1
和切线性质有关的几何证明题一
和勾股定理结合
1.
【解析】
【标注】
已知：如图，⊙
的半径是
，
、
切⊙
于点
、
两点，
，求
的长．
【答案】
．
连接
，
∵
、
切⊙
于点
、
两点，
∴
，
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】切线的性质定理
【知识点】垂径定理以及应用
【能力】分析和解决问题能力
2.
2
【解析】
【标注】
如图，
，圆心在边
上的⊙
的半径为
，
，若⊙
沿射线
方向移
动，当⊙
与直线
相切时，圆心
移动的距离为 ．
【答案】
或
如图，当⊙
平移到⊙
位置时，⊙
与
相切时，且切点为
，
图
连接
，则
，
即
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
（
）．
如图：同理可得：
，
图
∴
．
【知识点】切线的性质定理
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
3
【知识点】30°特殊角的性质应用
3.
【解析】
【标注】
已知：如图，
是⊙
的切线，
是切点，
是⊙
的弦，
的延长线交
于点
，设⊙
的半
径为
，
．求
的长．
【答案】
．
连接
．
∵
是⊙
的切线，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
在
中，
∵
，
，
∴
．
∴
．
【知识点】正多边形与圆
【知识点】切线的性质定理
4. 如图，已知
、
切⊙
于点
、
两点，连
，且
．试求：⊙
的半径．
4
【解析】
【标注】
【答案】⊙
的半径为．
连接
．
∵
、
切⊙
于点
、
两点，
∴
，
，
．
∵
，
∴
．
∴
是等边三角形，
∴
．
在
中，
．
∴⊙
的半径为．
【知识点】圆与勾股
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
如图，
是⊙
的切线，
为切点，
的延长线交⊙
于
点，连接
，若
，
，则
等于（ ）．
【答案】B
连接
．
5
【标注】
是⊙
的切线，
为切点，
．
在直角
中，
，
，
则
，
．
故选：．
【知识点】圆与特殊角
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
【解析】
如图，点
、
在⊙
上，
是切线，
．
求证：
．
若
，
，求
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
∴
，
∵
是⊙
的切线，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
6
（2 ）
【标注】
∴
．
∵
，
，
，
∴
，
由（）知，
，
∴
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
【解析】
如图，
是
的直径，
是弧
的中点，
是
的切线
上一点，
交
于点
，且
．
求证：
．
若
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
是
的直径.
∴
∵
是
中点
∴
∴
为等腰直角三角形
∴
又∵
是切线，连
.
∴
又∵
∴
∴
7
（2 ）
【标注】
过
作
于
∵
∴
∴四边形
是矩形
∵
∴
，
∵
∴
在
中
∴
∴
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
8. 如图，在
中，
，以
为直径的⊙
分别交
，
于点
，
，过点
作⊙
的
切线交
的延长线于点
，连接
．
求证：
．
过点
作
于
点，若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
8
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，连接
，
∵
是直径，
∴
．
∵
是⊙
的切线，
∴
．
∴
．
∴
，
∵
，
，
∴
平分
，
∴
．
∵
，
∴
，
，
∴
．
∵
是直径，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
在
中，
．
【知识点】圆与勾股
9.
9
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，
是⊙
上一点，过点
作⊙
的切线，与
延长线交于点
，连接
，
交⊙
于点
，连接
交
于点
．
求证：
平分
．
连接
，若
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
是⊙
的直径，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
平分
．
∵
是⊙
的切线，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
10
【标注】
∵在
中，
，
∴
，
，
，
∵在
中，
，
∴
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
10.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
为⊙
的直径，点
为弦
的中心，连接
并延长交⊙
于点
，过点
作⊙
的切
线，交
的延长线于点
．
求证：
．
若
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析.
．
∵
是⊙
直径，
为
中点，
∴
，
．
∵
为⊙
切线，
∴
于
．
∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
11
【标注】
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
为
中位线，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与等腰+平行线
（1 ）
（2 ）
11.
（1 ）
【解析】
已知如图，
是⊙
的切线，
为切点，
经过圆心
，交⊙
于
、
，
于
，连接
、
．
求证：
平分
．
若
，
，求⊙
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
⊙
半径为
．
∵
是⊙
切线，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
12
（2 ）
【标注】
∴
，
∴
平分
．
∵
，
，
∴
，
设⊙
的半径为，
∴在
中，
，
，
，
，
∴⊙
半径为
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
12.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，已知
，在
上取一点
，以
为直径的⊙
恰与
相切于
点
，若
，
．
求⊙
的直径
的长．
求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
设⊙
半径为，则
．
∵
切于⊙
于
，
∴
，
∴
，
∴
13
（2 ）
【标注】
．
∴
，
∴⊙
直径为
．
设
．
∵
，
∴
切⊙
于
．
∴
，
∴
．
∴
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
13.
（1 ）
【解析】
如图，
为⊙
的直径，
为弦
的中点，连接
并延长交弧
于点
．过点
作⊙
的切
线，交
的延长线于点
．
求证：
．
连接
，若
，写出求四边形
面积的思路．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
四边形
面积为
，思路见解析．
∵
为
的中点，
∴
．
∴
．
∵
是⊙
的切线，
∴
．
∴
．
∴
．
14
（2 ）
【标注】
∴
．
作
于
，连接
，
，
．
首先证明四边形
是平行四边形，根据
，只要求出
即可．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
是等边三角形，同理
也是等边三角形，
∴
，
，
∴
，又
，
∴四边形
是平行四边形，易知
，
∴
．
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】切线的性质定理
平行四边形
四边形
14. 如图，
是⊙
上一点，半径
的延长线与⊙
的切线
交于
点，
．
15
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
．
若
，
，求弦
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析
证明：连接
，
∵
为⊙
的切线，∴
，
∵
，∴
，
又∵
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
又∵
,
，
∴
，
∴
．
过点
作
,垂足为
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴在
中，
，
∴
，
在
,
,
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与勾股
15.
16
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，
是弧
的中点，
是⊙
的切线
上一点，
交
于点
，且
．
求证：
．
若
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
如图，连接
，
∵
是弧
的中点，
∴
，
∴
．
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∴
，
连接
，
∵
，
∴
．
∵
是⊙
切线，
∴
，
∴
．
作
于
点，
17
【标注】
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
．
∵
，
∴
，
设
，在
中，
利用勾股定理：
，
解得：
（舍负的），
∴
，
∴
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
16.
（1 ）
【解析】
已知：如图直线
交⊙
于
，
两点，
的垂线
切⊙
于点
，过
点作⊙
的直径
．
求证：
平分
．
若
，
，求⊙
的直径．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
⊙
的直径为
．
连结
，
18
（2 ）
【标注】
∵
切⊙
于
，
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∴
平分
．
作
于
，设⊙
的半径为
，
又∵
，
，
∴四边形
为矩形，
∴
且
，
又
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
解得：
，
∴⊙
的直径：
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
17.
（1 ）
【解析】
如图，已知：
内接于⊙
，
是⊙
的切线，
的延长线交
于点
．
若
，求
的度数．
在（）的条件下，若
，求⊙
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
如图，连接
，
19
（2 ）
【标注】
∵
是⊙
的切线，
∴
．
设
，
则
，
，
，
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
在
中，
．
∴⊙
的半径是．
【知识点】圆与三角函数
18.
【解析】
如图，
为等腰三角形，
，
是底边
的中点，腰
与⊙
相切于点
．求证：
是⊙
的切线．
【答案】证明见解析．
连接
，过点
作
于
点，
则
，
切
于
，
，
20
【标注】
，
，
又
是
的中点，
，
，
，
≌
，
，即
是
的半径，
与
相切．
【知识点】切线的判定定理
（1 ）
（2 ）
19.
（1 ）
【解析】
已知：如图，
为
上一点，
交
于
，连接
、
，且
．
求证：
为
的切线．
求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
连接
并延长交
于
，连接
．
可知
是
的直径，∴
，∴
21
（2 ）
【标注】
∵
，
，∴
，
∴
∵
是直径，∴
是
的切线．
∵
，
是公共角，
∴
，
∴
，即
．
【知识点】切线的判定定理
（1 ）
（2 ）
20.
（1 ）
【解析】
如图，已知
是正方形
对角线上一点，以
为圆心、
长为半径的⊙
与
相切于
，
与
、
分别相交于
、
．
求证：
与⊙
相切．
若正方形
的边长为，求⊙
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
⊙
的半径为
．
连接
，作
于
点．
∵
切⊙
于
，
∴
．
∵四边形
是正方形，
是对角线，
，
∴
，即
是⊙
的半径，
∴
与⊙
相切．
22
（2 ）
【标注】
由（）易知四边形
是正方形，
∴
．
设⊙
半径为，
∵正方形
的边长为，
∴对角线
，
∴
，
∴
，即⊙
的半径为
．
【知识点】正方形的性质
【知识点】切线的性质定理
【知识点】切线长定理
【知识点】切线的判定定理
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
（3 ）
21.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，以
为直径的⊙
与边
，
分别交于
，
两点，过点
作
于点
．
判断
与⊙
的位置关系，并说明理由．
求证：
为
的中点．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
与⊙
相切．
证明见解析．
．
连结
、
，如图，
23
（2 ）
（3 ）
∵
为直径，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
而
，
∴
为
的中位线，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
为⊙
的切线．
连结
，如图，
∵四边形
为⊙
的内接四边形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，即
为
的中点．
在
中，
，
∵
，
24
【标注】
∴
，
在
中，∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与三角函数
和相似三角函数综合
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知
中，
，
为
上一点，以
为直径作⊙
与
相切于点
，
连接
并延长交
的延长线于点
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
切⊙
于点
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
25
【标注】
∴
，
∵
，
，
即
，
∴
．
【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边
【知识点】相似三角形的判定-预备定理（平行）
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】相似三角形的性质
【知识点】平行线的性质
【知识点】平行线判定
【知识点】切线的性质定理
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，
为⊙
上一点，过点
作⊙
的切线交
的延长线于点
，过点
作
于点
，
与⊙
交于点
．
求证：
平分
．
若
，
，请写出求
长的思路．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
切⊙
与点
，
∴
，
∵
于点
，
∴
，
∴
．
26
（2 ）
【标注】
又∵
，
∴
，
∴
，
即
平分
．
连接
，
可证
，
∴
．
在
中，由
，
，可求
．
由
，得
，
∴
．
故
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
3.
【解析】
如图，
为⊙
的直径，直线
切⊙
于，
于
，交⊙
于点
，
，
，求
的度数．
【答案】
．
连接
、
，相交于点
．
∵直线
切⊙
于，
∴
．
∵
于
，
∴
．
∵
为⊙
的直径，
27
【标注】
∴
．
∴
．
∴四边形
是矩形．
∴
，
．
∴
．
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
如图，点
、
在⊙
上，
是⊙
的切线，且
，连接
，与
交于点
．
求证：
．
如果
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
是⊙
的切线，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
28
（2 ）
【标注】
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
过点
作
于点
，
∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
，
．
∵
，
，
∴
．
设
，则
，
∴
．
在
中，
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】勾股定理的证明
【知识点】勾股定理的综合应用
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】相似三角形的性质
【知识点】正多边形与圆
【知识点】切线的性质定理
5. 如图，在
中，
，点
在
上，
为⊙
的直径，⊙
切
于
，若
，
，求⊙
的半径．
29
【解析】
【标注】
【答案】
．
连结
，
在
中，
，
∵
，
，
∴由勾股定理得
，
又∵⊙
切
于
，
∴
．
在
和
中，
∵
，
，
∴
．
∴
，即
．
∴
．
【知识点】圆与相似
6.
【解析】
如图，
是⊙
的直径，
切⊙
于点
．若
，
，求
的周长．
【答案】
．
∵
是⊙
的直径，
切⊙
于点
，
∴
．
在
中，
，
30
【标注】
∵
，
，
∴
．
∴
．
∴由勾股定理得，
．
∴
的周长为
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
，
在
上，以
为直径的⊙
与
相切于
，与
相交
于
，连接
．
求证：
平分
．
连接
，如果
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
．
∵⊙
切
于点
，
∴
．
∵
，
∴
，∴
．
∵
，
∴
，
∴
，即
平分
．
连接
、
．
31
【标注】
∵
，
，
∴
，
，
∴
．
∵⊙
中半径
，
∴
是等边三角形，
，
．
∵
，
∴
．
在
中
，
，
，
∴
，
．
在
中，
，
，
，
∴
．
【知识点】切线的性质定理
【知识点】正多边形与圆
（1 ）
（2 ）
8.
（1 ）
【解析】
如图，已知
是⊙
的直径，直线
与⊙
相切于点
，
于点
．
求证：
平分
．
若点
为
的中点，
，
，求
和
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
；
．
连接
，直线
与⊙
相切于点
，
32
（2 ）
∴
，
∵
，
∴
，
∴
∵
，
∴
，
∴
∴
平分
．
连接
，
，过点
作
于点
，
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
解得
，
∴
，
∵点
为
的中点，
∴
，
∴
，
33
【标注】
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
9.
（1 ）
【解析】
已知：如图，
为⊙
的直径，
切⊙
于，
于
，交⊙
于
．
求证：
平分
．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
连接
，如图，
∵
切⊙
于，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
而
，
∴
，
∴
，
34
（2 ）
【标注】
∴
平分
．
连接
，如图，
∵
为直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
10.
（1 ）
【解析】
如图，在中
，
，以
为直径作⊙
交
于点
，过点
作⊙
的切线，交
于点
，交
的延长线于点
．
求证：
．
当
，
时，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
如图，连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
∴
，
∴
．
∵
切⊙
于点
，
为半径，
∴
，
∴
．
∵
，
35
（2 ）
【标注】
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
，
∵
，
∴
，
解得
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
11.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在⊙
中，直径
交弦
于点
，
，⊙
的切线
交
的延长线于点
，
是
与⊙
的交点，连结
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
为⊙
的切线，
为直径，
∴
．
∵
平分弦
，
∴
．
∴
．
连接
，
．
36
【标注】
∵
是⊙
的直径，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
；
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
．
∴
，
又∵
为⊙
直径，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】圆与相似
12. 如图：
是⊙
的内接三角形，
，
，过点
作⊙
的切线交
的延长线于点
．
37
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
．
如果⊙
的半径为
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
则
，
．
而
，
∴
．
∴
为正三角形，
∴
，
．
∴
．
而在四边形
中，
，
，
，
∴
．
∴
．
∴
．
在三角形
中，
，
切⊙
于
，
∴
，
∴
．
∴
．
∴
，
而
，
，
∴
，
∴
．
38
【标注】
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
13. 下面是小明设计的“将圆内某个三角形面积等分”的作图过程．
已知：如图，
为
的外接圆，直线
与
相切与点
，且
．仅
用无刻度的直尺，在
中画出一条弦，使这条弦将
分成面积相等的两部分．
作法：延长
交
于点
，交弦
于点
；作经过点
、点
的弦
；所以弦
即为所求．
根据小明设计的作图过程．
使用无刻度的直尺，补全图形：(保留作图痕迹)
完成下面的证明：
证明：延长
交
于点
，交弦
于点
；
∵直线
与
相切与点
∴
( )（填推理的依据）．
∴
，
∵
，
∴
，∴
．
∴
( ))（填推理的依据）
∴
．
∴弦
为所求．
【答案】（1 ）
（2 ）圆的切线垂直于过切点的半径 ; 垂直于弦的直径平分弦
39
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
略
略
【知识点】切线的性质定理
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】垂线与垂线段的作图
【能力】推理论证能力
14.
【解析】
【标注】
如图，已知点
在
的边
上，以
为直径的⊙
与
相切于点
，且
平分
．
求证：
．
【答案】证明见解析．
连结
．
∵
∴
∵
平分
，
∴
．
∴
∴
∵
是⊙
的切线，
∴
∴
∴
∴
．
【知识点】切线的性质定理
【知识点】平行线判定
15.
40
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，⊙
的半径是，点
在⊙
上．
是⊙
所在平面内一点，且
，过点
作直线，使
．
点
到直线距离的最大值为 ．
若
，
是直线与⊙
的公共点，则当线段
的长度最大时，
的长为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
∵
在⊙
上，且
，
∴
是在以
为圆心，为半径，
∵过点
的
，
∴为过
点的⊙
的切线，
当
点在射线
与⊙
的交点时，
到的距离的最大为
．
当经过⊙
的直径时，
为⊙
的直径时，
．
【知识点】圆中对称性
【知识点】切线的性质定理
【知识点】圆与勾股
【能力】运算能力
【思想】数形结合思想
16. 如图，在平面直角坐标系中
中，
是直线
上的一个动点，⊙
的半径为，
切⊙
于点
，则线段
的最小值为 ．
【答案】
41
【解析】
【标注】
连接
，
，
∵
切⊙
于点
，
∴
，
在
中，
，
欲求
最小，即
最小，
当
为直线
与轴交点时，即
时，
取得最小值为，
∴
的最小值为
．
【知识点】圆中最值
（1 ）
（2 ）
17.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，
是⊙
上一点，连接
，过点
作⊙
的切线，交
的延长线于点
，在
上取一点
，使
，连接
，交⊙
于点
．
请补全图形并解决下面的问题：
．
如果
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
是⊙
的切线，
∴
，
∵
，
，
∴
，
42
（2 ）
【标注】
∴
．
过点
作
于
，
∵
，
∴
，
在
中，
∵
，
∴
，
∴
，
在
中，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，解得：
．
∴
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
18.
（1 ）
【解析】
如图，
内接于⊙
，
是⊙
的直径．
是⊙
的切线，
为切点，
于点
，交
于点
．
求证：
．
若
，
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，如图．
43
（2 ）
图
∵
是⊙
的切线，
为切点，
∴
．
∴
．
∵
于点
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
即
．
作
于点
，如图．
图
∵
是⊙
的直径，
∴
．
∵在
中，
，
，
∴
．
∴
．
∵在
中，
，
∴
．
44
【标注】
∴
．
∵
，
∴
．
∵
于点
，
∴
，
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴
．
∴在
中，
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
19.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，以
为直径的⊙
与边
、
分别交于
、
两点，
于
．
求证：
为⊙
的切线．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
．
∵
是
的直径，
∴
．
又∵
，
∴
为
的中点．
又∵
为
的中点，
∴
．
45
（2 ）
【标注】
∵
，
∴
．
又∵
为⊙
的半径，
∴
为⊙O的切线．
∵
，
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
连接
．
∵
是⊙
的直径，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
20. 如图，在
中，
，点
是
边上一点，以
为直径的⊙
与边
相切于
点
，连接
并延长
交
的延长线于点
．
求证：
．
若
，
，求⊙
的半径．
46
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
⊙
的半径为
．
连接
，
∵
与圆
相切，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
为
的中点，
∴
为
的中点，即
为
的中位线，
∴
，
又∵
，
∴
．
设
，根据题意得：
，
又∵
，
∴
，
由（）得：
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，即
，
解得：
，
则⊙
的半径为
．
【知识点】圆与三角函数
21. 如图，点
是
的边
上一点，⊙
与边
相切于点
，与边
，
分别相交于点
，
，且
．
47
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
．
当
，
时，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵⊙
与边
相切于点
，
∴
，
∴
，
∴
．
在
，
，
，
，
∴
，
设⊙
的半径为，则
，
在
中，
，
48
【标注】
∴
，
∴
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
22.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
工厂有一批长
、宽
的矩形铁片，为了利用这批材料，在每一块上裁下一个最大的圆铁片⊙
之后（如图所示），再在剩余铁片上裁下一个充分大的圆铁片⊙
．
求⊙
、⊙
的半径
、
的长．
能否在剩余的铁片上再裁出一个与⊙
同样大小的圆铁片？为什么？
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
不能，理由见解析．
如图，矩形
中，
，即
．
，⊙
应与⊙
及
、
都相切．
连结
，过
作直线
，过
作直线
，
则
．
在
中，
，
，
．
由
，
即
．
解得：
．
又∵
，
∴
，
．
不能．
∵
（
），
即
．
又∵
，
∴
，故不能再裁出所要求的圆铁片．
【知识点】圆与勾股
49
（1 ）
（2 ）
23.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知
是⊙
的直径，点
在
的延长线上，
切⊙
于点
，过点
作
垂直于
，交
的延长线于点
，连接
并延长，交
于点
．
求证：
．
若
，
，求⊙
半径的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
⊙
半径为．
连接
，
∵
切⊙
于点
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
由（）知，
，
∴
，
50
【标注】
∴
，
在
中，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴⊙
半径为．
【知识点】弧、弦、圆心角关系
（1 ）
（2 ）
24.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在平面直角坐标系
中，过点
作
轴于点
．半径为
的⊙
与
交于
点
，过
点作⊙
的切线
，切点为
，连接
并延长交轴于点
．
当
时，
的长等于 ．
点
的坐标为 （用含的代数式表示）．
【答案】（1 ）
（2 ）
在
中，
，
，
，
．
依题可知，
，
，
，
．在
中，
，
，过点
可以引出两条圆
的切线，
点
的两侧各一个，故
点也在
点的左右两侧，
．
51
【标注】【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
25.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知
是
的外接圆，点
是
的中点，过点
作
的切线
，与直径
的延
长线相交于点
．
求证：
．
连接
，若
，
，写出求
长的思路．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
思路见解析．
连接
∵
与
相切于
∴
∵
为
的中点
∴
，
∵
∴
∵
∴
．
连接
与
交于点
在
中可求得
的余弦值为
，
进而求得
可得
，
可得
在
中，
，
52
【标注】
可得
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
26.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，⊙
是
的外接圆，
，
，
是劣弧
的中点，过点
作⊙
的切线交
延长线于点
．
求证：
．
求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连结
，
∵
，
∴
．
又∵
是劣弧
的中点，
∴
，
∴
，
∴
为⊙
的直径，
又∵
为⊙
的切线，
∴
，
作
，垂足为
，
∴
为
中点，
∴
必过圆心
，
即：
，
，
，
四点共线，
∴
．
在
中，
，
53
【标注】
∴
，
，
在
中，设
，则由勾股定理得
，
解得
，
，
在
中，
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
27.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
，以
为直径的⊙
分别交
，
于点
，
，
的延长线
与⊙
的切线
交于点
．
求证：
．
若
，
，求线段
和
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
，
．
如图，连接
．
∵
为⊙
直径，
∴
，
∴
．
∵
是⊙
切线，
∴
．
即：
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
．
如图，连接
．
54
【标注】
∴
．
设
，
∵
，
∴
，
，
，
在
中，
，
即：
，
∴
，
∴
．
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
28.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，
、
与⊙
相切，切点分别为
、
，
的延长线与
的延长线
相交于点
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
、
与⊙
相切，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
55
（2 ）
【标注】
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
在
中，
，
，
，
在
中，
，
过
作
于
，则
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
由（）知：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
29. 如图，
是⊙
的直径，
，
与⊙
相切，切点分别为
，
，
的延长线于
的延长线
相交于点
．
56
（1 ）
（2 ）
（1 ）
O
A
D
P
C
B
E
（2 ）
【解析】
O
A
D
P
C
B
猜想
与
的位置关系，并证明你的猜想．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
与
平行．
．
猜想：
，
证明：连接
，
∵
、
与⊙
相切，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
在
中，
，
，
，
由勾股定理得：
，
作
，垂足为
．
则
，
，
∵
，
，
57
【标注】
∴
，
∴
，
即
，
解得：
，
由（1）知
，
∴
，
∴
，即
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
30.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，
、
是⊙
上两点，
．过点
作⊙
的切线，连接
并延长
交于点
，连接
并延长交于点
．
求证：
．
若
，
，求
长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连结
．
∵
是的直径，
在⊙
上，
∴
∵
，
58
（2 ）
【标注】
∴
．
∴
．
∵
是⊙
的直径，
切⊙
于点
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
在
中，
，
，
．
∴
．
在
中，
，
．
解得：
．
连接
，则
，
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
【知识点】圆与三角函数
31. 如图，
内接于⊙
，
为直径，点
在⊙
上，过点
作⊙
切线与
的延长线交于点
，
，连接
交
于点
．
59
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：
．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
为⊙
的切线，
∴
．
∵
为⊙
的直径，
∴
．
∵
,
∴
．
∴
．
∴
．
∵
,
∴
．
∴
．
连接
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
在
中，∴
．
【知识点】圆与三角函数
60
（1 ）
（2 ）
32.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知：如图，
为⊙
的直径，
、
是⊙
的切线，
、
为切点，
．
求
的大小．
若
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵
是⊙
的切线，
为⊙
的直径，
∴
，即
，
∵
，
∴
．
又∵
、
切⊙
于点
、
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
．
如图，连接
，
∵
是直径，
，
∴在
中，
，
，
可得
，
又∵
是等边三角形，
∴
．
【知识点】圆与三角函数
33.
61
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
，以
为直径作⊙
交
于点
，过点
作⊙
的切线
，交
和
的延长线于
、
．
求证：
．
当
，
时，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
（如图）．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
∵
与⊙
相切，
∴
，
．
∴
．
∴
．
由（）知：
，
，
在
中，
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
解得
．
62
【标注】
∴
．
∴
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
34.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
是⊙
的直径，
是
的中点，⊙
的切线
交
的延长线于点
，
是
的中
点，
的延长线交切线
于点
，
交⊙
于点
，连接
．
求证：
．
若
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
是
的中点，
是⊙
的直径，
∴
，
∵
是⊙
的切线，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
是
的中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
63
【标注】
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
是直径，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
35.
（1 ）
【解析】
如图，
内接于⊙
，
为直径，点
在⊙
上，过点
作⊙
的切线与
的延长线交于点
，且
，连接
交
于点
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
为⊙
的切线，
∴
．
∵
为⊙
的直径，
∴
．
∵
，
64
（2 ）
【标注】
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
连接
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
在
中，
∴
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
36.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，
是
上一点，以
为直径的
切
于点
，交
于
点
，连接
．
求证：
．
若
，
，写出求线段
长的思路．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
答案见解析．
连接
交
于点
．
∵
是⊙
的切线，
65
（2 ）
【标注】
∴
，
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
∴
，
∵
是⊙
的半径，
∴
，
∴
．
在
中，∵
，
，
∴
，
设
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆与相似
