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1
圆【章节复习】压轴题-圆和二次函数 题集C24
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，已知二次函数
与轴交于点
、
，与轴交于点
，且以
为直径的圆经过点
．
x
y
若点
，点
，求
的值．
若点
，
，试探索
是否为定值．若是，求出这个定值．若不是，请说明理
由．
若点
是圆与抛物线的交点（
与
、
、
不重合），在（）的条件下，坐标轴上是否存
在一点
，使得以
、
、
为顶点的三角形与
相似．若存在，请直接写出点
坐标．
若不存在，请说明理由．
x
y
备用图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
是，定值是
．
或
或
或
．
取
中点
，连接
，
2
（2 ）
x
y
∵
，
∴
，
为圆心，
∴
，
，
∴在
中，
，
∴
，
，
由题意得，可设抛物线解析式为
，
代入
，得
，
∴
，
∴
，
∴
．
如（）图，取
中点
，连接
，
由题意得
，
，
，
，
∵
，
∴
，
∵
为
中点，
∴
为圆心，
∴
，
又∵
，
∴在
中，有
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
．
3
（3 ）由（）得，
，对称轴为直线
，其与轴交于点
，连接
，
x
y
∵直线
过圆心
，
∴直线
是⊙
的对称轴，
∴点
关于直线
的对称点既在抛物线上，也在⊙
上，
∴抛物线与⊙
的交点
即为点
关于直线
的对称点，
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
又∵点
、
关于直线
对称，
∴
，
∴
，
∵点
、
、
、
内接于⊙
，
∴
，
∵
为⊙
直径，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
①当点
在轴上时，
∵
，
∴点
位于点
上方，
当
时，有
，
∴
，
∴
，
，
当
时，有
，
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【标注】
∴
，
∴
，
．
②当点
在轴上时，
∵
，
∴点
位于点
左侧，
当
时，有
，
∴
，
∴
，
，
当
时，有
，
∴
，
∴
，
．
综上，点
的坐标为
或
．
【知识点】圆与平面直角坐标系
（1 ）
（2 ）
2. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为
的抛物线交轴于
点，交轴于
、
两点（点
在点
的
左侧），已知
点坐标为
．
求此抛物线的解析式．
过点
作线段
的垂线交抛物线于点
，如果以点
为圆心的圆与直线
相切，请判断抛
物线的对称轴与⊙
有什么位置关系，并给出证明．
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（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
在抛物线上是否存在一点
，使
是以
为直角边的直角三角形？若存在，求出点
的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
抛物线的对称轴与⊙
相离．
或
．
设抛物线解析式为：
，
将
代入求得：
，
∴抛物线解析式为
．
抛物线的对称轴与⊙
相离．
令
，即
，
得
或
，
∴
，
．
如图所示，设切点为
，连接
，
由题意易证
，
∴
，即
，
求得⊙
的半径
；
而点
到对称轴
的距离为，
，
∴抛物线的对称轴与⊙
相离．
存在．
有两种情况：
如图所示，点
在轴上方．
∵
，
，
∴
为等腰直角三角形，
，
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【标注】
∵
，∴
．
过点
作
轴于点
，则
为等腰直角三角
形．
设点
坐标为
，则有
，
，
①，
又点
在抛物线上，
∴
②，
联立①②式，解得：
或
．
当
时，点
与点
重合，故舍去，
∴
，
，
∴点
坐标为
．
如图所示，点
在轴下方．
∵
，
，
∴
为等腰直角三角形，
，
过点
作
轴于点
，
∵
，
∴
，即
为等腰直角三角形．
设点
坐标为
，则有
，
，
∴
①，
又点
在抛物线上，
∴
②，
联立①②式，解得：
或
．
当
时，点
与原点重合，故舍去，
∴
，
，
∴点
坐标为
．
综上所述，存在点
，使
是以
为直角边的直角三角形．
点
的坐标为
或
．
【知识点】二次函数与圆的综合问题
3. 如图，已知抛物线
经过点
，点
和点
．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
求抛物线的解析式和顶点
的坐标．
点
是否在以
为直径的圆上？请说明理由．
点
是抛物线对称轴上一动点，点
是抛物线上一动点，是否存在点
、
，使以
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点
、
的坐标，若不存在，请说明理
由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
顶点
．
点
在以
为直径的圆上，理由见解析．
，
或
或
，
．
由题意，得：
，
解得：
，
故这个抛物线的解析式为
，
，
∴顶点
．
点
在以
为直径的圆上，理由是：
∵
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴点
在以
为直径的圆上．
存在，分两种情况：
①以
为边时，
如图，
在对称轴的右侧时，
，四边形
是平行四边形，
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图
由
到
的平移规律可知：
的横坐标为，则
的横坐标为，
当
时，
，
∴
，
∴
；
如图，
在对称轴的左侧，
，四边形
是平行四边形，
图
由
到
的平移规律可知：
的横坐标为，则
的横坐标为
，
当
时，
，
∴
，
∴
；
②以
为对角线时，如图，
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【标注】
图
由
和
的平移规律可得：
的横坐标为，
当
时，
，
∴
，
根据
到
的平移规律可得：
；
综上所述，
，
或
或
，
．
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
【知识点】二次函数与平行四边形
【知识点】二次函数一般式
【知识点】点与圆的位置关系
【思想】函数思想
